Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 75 mm a 25 mm. En el tramo ancho la presión es 120 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 120 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

Un depósito de agua cerrado tiene aire comprimido sobre el agua a una presión manométrica de 100 kPa. El agua sale al aire libre por un orificio de 50 mm de diámetro, 2 m por debajo de la superficie del agua. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 100 kPa (manométrica)h = 2 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 8 L/s por una tubería de 300 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 8 L/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 100 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,025. La superficie libre del depósito superior está 7 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 7 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 56 m. El rendimiento de la bomba es del 70 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 94 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 40 L/sH = 56 mη_pump = 70%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 12 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 75 L/sΔz = 12 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 4η = 80%

P_shaft = kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal rectangular de tierra limpia mide 4,5 m de anchura. El agua circula en régimen uniforme con un calado de 1,9 m. n de Manning = 0,022 y la pendiente del fondo es S = 0,002. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 4,5 my = 1,9 mn = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal rectangular de hormigón sin acabado de 5,5 m de anchura debe transportar 13 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1,3 m. n de Manning = 0,014. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 13 m³/sb = 5,5 my = 1,3 mn = 0,014

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 239,1 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Respuesta

F = 239,1 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 5,636 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·5,5·6 = 407,9 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 4,5/(5,5·6) = 5,636 m

Respuesta

y_cp = 5,636 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 30 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(75/25)² = 13,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 13,5²)/1000 = −90 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−90) = 30 kPa

Respuesta

p₂ = 30 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 30,37 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli de la superficie al chorro

v = √(2·(100000/1000 + 9,81·2)) = 15,47 m/s

Caudal

Q = A·v = 0,001963·15,47 = 0,03037 m³/s = 30,37 L/s

Respuesta

Q = 30,37 L/s

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 18,72 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,008/0,004418 = 1,811 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,811²/(2·9,81) = 0,1671 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,075)·1,811²/(2·9,81) = 18,72 m

Respuesta

h_f = 18,72 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 82,53 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,025·100/0,2 = 12,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

7 = (12,5 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·7/19,9) = 2,627 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 2,627·0,03142 = 0,08253 m³/s = 82,53 L/s

Respuesta

Q = 82,53 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 33,4 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·56 = 21,97 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 21,97/0,7 = 31,39 kW

Potencia eléctrica

P_el = 31,39/0,94 = 33,4 kW

Respuesta

P_el = 33,4 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 16,11 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,2905 = 5,519 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 12 + 5,519 = 17,52 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·17,52/0,8 = 16,11 kW

Respuesta

P_shaft = 16,11 kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 17,73 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = b·y = 4,5·1,9 = 8,55 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,9 = 8,3 m

R = A/P = 1,03 m

Velocidad

V = (1/0,022)·1,03^2/3·0,002^1/2 = 2,073 m/s

Caudal

Q = A·V = 8,55·2,073 = 17,73 m³/s

Respuesta

Q = 17,73 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,0007652 m/m

Geometría

A = b·y = 5,5·1,3 = 7,15 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,3 = 8,1 m

R = A/P = 0,8827 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·13/(7,15·0,9202) = 0,02766

S = 0,02766² = 0,0007652

Respuesta

S = 0,0007652

Eso supone un desnivel de 0,7652 m por kilómetro.

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