Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 50 mm. En el tramo ancho la presión es 170 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 170 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 200 mm a 100 mm mientras asciende 9 m. En la sección 1 la presión es 360 kPa y la velocidad 1 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula con una velocidad media de 1,9 m/s por una tubería de 1000 m de longitud y 250 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,025 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

V = 1,9 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 100 m de longitud y 250 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,018) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

En un ensayo, una bomba impulsa 25 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 52 m mientras su eje absorbe 15 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.

Q = 25 L/sH = 52 mP_shaft = 15 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 120 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 3 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 75 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 3η = 75%

P_shaft = kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de hormigón sin acabado tiene una anchura de fondo de 5,5 m y taludes de 1:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 1,5 m. n de Manning = 0,014 y la pendiente del fondo es S = 0,003. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 5,5 my = 1,5 mz = 1n = 0,014S = 0,003

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal rectangular de hormigón fratasado de 1,5 m de anchura debe transportar 5,3 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1,7 m. n de Manning = 0,012. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 5,3 m³/sb = 1,5 my = 1,7 mn = 0,012

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 206 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Respuesta

F = 206 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 2,533 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,1667/(2,5·2) = 2,533 m

Respuesta

y_cp = 2,533 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 80 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(150/50)² = 13,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 13,5²)/1000 = −90 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−90) = 80 kPa

Respuesta

p₂ = 80 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 264,2 kPa

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−7,5) − 88,29 = 264,2 kPa

Respuesta

p₂ = 264,2 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 18,4 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,25)·1,9²/(2·9,81) = 18,4 m

Respuesta

h_f = 18,4 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 5,378 m

Velocidad

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 7,2 + 3,1)·0,4759 = 5,378 m

Respuesta

H = 5,378 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: η = 85,02 %

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·52 = 12,75 kW

Rendimiento

η = P_h/P_shaft = 12,75/15 = 85,02%

Respuesta

η = 85,02%

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 14,45 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 3)·0,3046 = 4,203 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 5 + 4,203 = 9,203 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·9,203/0,75 = 14,45 kW

Respuesta

P_shaft = 14,45 kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 43,18 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·1,5)·1,5 = 10,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 9,743 m

R = A/P = 1,078 m

Velocidad

V = (1/0,014)·1,078^2/3·0,003^1/2 = 4,113 m/s

Caudal

Q = A·V = 10,5·4,113 = 43,18 m³/s

Respuesta

Q = 43,18 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,001486 m/m

Geometría

A = b·y = 1,5·1,7 = 2,55 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,7 = 4,9 m

R = A/P = 0,5204 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·5,3/(2,55·0,647) = 0,03855

S = 0,03855² = 0,001486

Respuesta

S = 0,001486

Eso supone un desnivel de 1,486 m por kilómetro.

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