Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 75 mm circulan 28 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 70 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 28 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 75 mm mientras asciende 2 m. En la sección 1 la presión es 170 kPa y la velocidad 0,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 170 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 2,1 m/s por una tubería horizontal de 400 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 2,1 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 0,2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 78 % impulsa 20 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 22 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 20 L/sH = 22 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 6 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 350 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 350 kPa

H = m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal rectangular de tierra revestida de hierba mide 3,5 m de anchura. El agua circula en régimen uniforme con un calado de 2 m. n de Manning = 0,03 y la pendiente del fondo es S = 0,001. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 3,5 my = 2 mn = 0,03S = 0,001

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un colector de hormigón de 450 mm de diámetro interior (n de Manning = 0,013) debe alcanzar una velocidad de autolimpieza de 0,75 m/s cuando funciona justo lleno. Halla la pendiente mínima S (en m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 294,3 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·6 = 294,3 kN

Respuesta

F = 294,3 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 5,067 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·3 = 147,2 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5 + 1/(5·3) = 5,067 m

Respuesta

y_cp = 5,067 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 83,73 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,028/0,007854 = 3,565 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,028/0,004418 = 6,338 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(6,338² − 3,565²)/1000 = 70 + 13,73 = 83,73 kPa

Respuesta

p₁ = 83,73 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 149,8 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−0,6076) − 19,62 = 149,8 kPa

Respuesta

p₂ = 149,8 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 329,3 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,075)·2,1²/(2·9,81) = 33,57 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·33,57 = 329280 Pa = 329,3 kPa

Respuesta

Δp = 329,3 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 3,364 m

Velocidad

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Pérdida de carga total

h_f = 20·0,1469 = 2,938 m

h_m = 2,9·0,1469 = 0,426 m

Δz = h_f + h_m = 3,364 m

Respuesta

Δz = 3,364 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 5,534 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·22 = 4,316 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 4,316/0,78 = 5,534 kW

Respuesta

P_shaft = 5,534 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 48,29 m

Velocidad

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,3305 = 6,61 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 35,68 + 6,61 = 48,29 m

Respuesta

H = 48,29 m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 7,047 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = b·y = 3,5·2 = 7 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·2 = 7,5 m

R = A/P = 0,9333 m

Velocidad

V = (1/0,03)·0,9333^2/3·0,001^1/2 = 1,007 m/s

Caudal

Q = A·V = 7·1,007 = 7,047 m³/s

Respuesta

Q = 7,047 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,00175 m/m

Radio hidráulico

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Despeja S de Manning

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,233)² = 0,00175

Respuesta

S = 0,00175

Eso supone un desnivel de 1,75 m por kilómetro.

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