Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 75 mm a 40 mm. En el tramo ancho la presión es 320 kPa y la velocidad 0,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 320 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 200 mm a 100 mm mientras asciende 3 m. En la sección 1 la presión es 310 kPa y la velocidad 2,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 2,3 m/s por una tubería horizontal de 200 m de longitud y 50 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 2,3 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 200 m de longitud, 250 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,025. La superficie libre del depósito superior está 30 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 30 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 75 % impulsa 20 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 76 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 20 L/sH = 76 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 17 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 85 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 40 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de tierra limpia tiene una anchura de fondo de 1 m y taludes de 3:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 0,8 m. n de Manning = 0,022 y la pendiente del fondo es S = 0,003. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 1 my = 0,8 mz = 3n = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal rectangular de hormigón fratasado de 6 m de anchura debe transportar 24 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1,2 m. n de Manning = 0,012. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 24 m³/sb = 6 my = 1,2 mn = 0,012

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 73,58 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Respuesta

F = 73,58 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 2,633 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,6667/(2,5·2) = 2,633 m

Respuesta

y_cp = 2,633 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 318,6 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(75/40)² = 1,758 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 1,758²)/1000 = −1,42 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−1,42) = 318,6 kPa

Respuesta

p₂ = 318,6 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 223,9 kPa

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(200/100)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−56,72) − 29,43 = 223,9 kPa

Respuesta

p₂ = 223,9 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 158,7 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,05)·2,3²/(2·9,81) = 16,18 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·16,18 = 158700 Pa = 158,7 kPa

Respuesta

Δp = 158,7 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 239,6 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

30 = (20 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·30/24,7) = 4,882 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 4,882·0,04909 = 0,2396 m³/s = 239,6 L/s

Respuesta

Q = 239,6 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 19,88 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·76 = 14,91 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 14,91/0,75 = 19,88 kW

Respuesta

P_shaft = 19,88 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 10,98 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,2611 = 6,79 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 17 + 6,79 = 23,79 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·23,79/0,85 = 10,98 kW

Respuesta

P_shaft = 10,98 kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 3,97 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·0,8)·0,8 = 2,72 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,8·√(1 + 3²) = 6,06 m

R = A/P = 0,4489 m

Velocidad

V = (1/0,022)·0,4489^2/3·0,003^1/2 = 1,46 m/s

Caudal

Q = A·V = 2,72·1,46 = 3,97 m³/s

Respuesta

Q = 3,97 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,001965 m/m

Geometría

A = b·y = 6·1,2 = 7,2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,2 = 8,4 m

R = A/P = 0,8571 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·24/(7,2·0,9023) = 0,04433

S = 0,04433² = 0,001965

Respuesta

S = 0,001965

Eso supone un desnivel de 1,965 m por kilómetro.

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