Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 150 mm y un diámetro de garganta de 100 mm circula agua. La presión en la entrada es 19 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 19 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 150 mm a 50 mm mientras asciende 3 m. En la sección 1 la presión es 370 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula con una velocidad media de 1,7 m/s por una tubería de 300 m de longitud y 250 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

V = 1,7 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 400 m de longitud, 300 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. La superficie libre del depósito superior está 38 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 0,2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 38 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 10 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 62 m. El rendimiento de la bomba es del 60 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 92 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 10 L/sH = 62 mη_pump = 60%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 75 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 5 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 200 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6

H = m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de tierra revestida de hierba tiene una anchura de fondo de 5,5 m y taludes de 3:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 2,2 m. n de Manning = 0,03 y la pendiente del fondo es S = 0,005. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 5,5 my = 2,2 mz = 3n = 0,03S = 0,005

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal trapecial de hormigón fratasado con una anchura de fondo de 6 m y taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical) debe transportar 70 m³/s en régimen uniforme con un calado de 2,2 m. n de Manning = 0,012. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 70 m³/sb = 6 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,012

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 101,2 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Respuesta

F = 101,2 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 121,4 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Respuesta

F = 121,4 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 54,05 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidad

v₁ = v₂·(100/150)² = 0,4444·v₂

Bernoulli entre la entrada y la garganta

La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·19000/(1000·(1 − 0,1975))) = 6,881 m/s

v₁ = 3,058 m/s

Caudal

Q = A₂·v₂ = 0,007854·6,881 = 0,05405 m³/s = 54,05 L/s

Respuesta

Q = 54,05 L/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 250,6 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(150/50)² = 13,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 13,5²)/1000 = −90 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−90) − 29,43 = 250,6 kPa

Respuesta

p₂ = 250,6 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 2,651 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,7²/(2·9,81) = 0,1473 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,25)·1,7²/(2·9,81) = 2,651 m

Respuesta

h_f = 2,651 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 406 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

38 = (20 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/22,6) = 5,744 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 5,744·0,07069 = 0,406 m³/s = 406 L/s

Respuesta

Q = 406 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 11,02 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·62 = 6,082 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 6,082/0,6 = 10,14 kW

Potencia eléctrica

P_el = 10,14/0,92 = 11,02 kW

Respuesta

P_el = 11,02 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 10,37 m

Velocidad

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12,5 + 6)·0,2905 = 5,374 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.

H = Δz + h_L = 5 + 5,374 = 10,37 m

Respuesta

H = 10,37 m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 77,44 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·2,2)·2,2 = 26,62 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 19,41 m

R = A/P = 1,371 m

Velocidad

V = (1/0,03)·1,371^2/3·0,005^1/2 = 2,909 m/s

Caudal

Q = A·V = 26,62·2,909 = 77,44 m³/s

Respuesta

Q = 77,44 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,00101 m/m

Geometría

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·2,2)·2,2 = 20,46 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 13,93 m

R = A/P = 1,469 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·70/(20,46·1,292) = 0,03178

S = 0,03178² = 0,00101

Respuesta

S = 0,00101

Eso supone un desnivel de 1,01 m por kilómetro.

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