Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de glicerina, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 150 mm a 100 mm circulan 21 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 220 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 21 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 220 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 150 mm a 75 mm mientras asciende 9 m. En la sección 1 la presión es 150 kPa y la velocidad 1,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 100 L/s por una tubería de 50 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 100 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 150 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. La superficie libre del depósito superior está 30 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 10) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 30 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba con un rendimiento del 82 % impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 32 m. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia en el eje P_shaft necesaria, en kW.

Q = 60 L/sH = 32 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 7 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,025; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 3 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 65 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 3η = 65%

P_shaft = kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de tierra limpia tiene una anchura de fondo de 4,5 m y taludes de 2:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 2,4 m. n de Manning = 0,022 y la pendiente del fondo es S = 0,003. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 4,5 my = 2,4 mz = 2n = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal rectangular de hormigón fratasado de 4,5 m de anchura debe transportar 11 m³/s en régimen uniforme con un calado de 0,9 m. n de Manning = 0,012. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 11 m³/sb = 4,5 my = 0,9 mn = 0,012

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 44,15 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Respuesta

F = 44,15 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 2,939 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·7,5 = 254,9 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 3,906/(2,75·7,5) = 2,939 m

Respuesta

y_cp = 2,939 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 222,9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,021/0,01767 = 1,188 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,021/0,007854 = 2,674 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 220 + ½·1000·(2,674² − 1,188²)/1000 = 220 + 2,869 = 222,9 kPa

Respuesta

p₁ = 222,9 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 44,83 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(150/75)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−16,88) − 88,29 = 44,83 kPa

Respuesta

p₂ = 44,83 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 0,476 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,3)·1,415²/(2·9,81) = 0,476 m

Respuesta

h_f = 0,476 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 81,46 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·150/0,15 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

30 = (15 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·30/27,7) = 4,61 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 4,61·0,01767 = 0,08146 m³/s = 81,46 L/s

Respuesta

Q = 81,46 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 22,97 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·32 = 18,84 kW

Potencia en el eje

P_shaft = P_h/η = 18,84/0,82 = 22,97 kW

Respuesta

P_shaft = 22,97 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 13,9 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 3)·0,408 = 11,42 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 7 + 11,42 = 18,42 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·18,42/0,65 = 13,9 kW

Respuesta

P_shaft = 13,9 kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 71,69 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·2,4)·2,4 = 22,32 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2,4·√(1 + 2²) = 15,23 m

R = A/P = 1,465 m

Velocidad

V = (1/0,022)·1,465^2/3·0,003^1/2 = 3,212 m/s

Caudal

Q = A·V = 22,32·3,212 = 71,69 m³/s

Respuesta

Q = 71,69 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,001915 m/m

Geometría

A = b·y = 4,5·0,9 = 4,05 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·0,9 = 6,3 m

R = A/P = 0,6429 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·11/(4,05·0,7449) = 0,04376

S = 0,04376² = 0,001915

Respuesta

S = 0,001915

Eso supone un desnivel de 1,915 m por kilómetro.

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