Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Un depósito grande y abierto se vacía por un orificio de arista viva de 20 mm de diámetro. El nivel del agua se mantiene 3,5 m por encima del orificio y el coeficiente de descarga es 0,65. Halla el caudal Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 3,5 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

La tobera de una fuente apunta verticalmente hacia arriba. Justo debajo de la tobera, la tubería de alimentación tiene un diámetro de 75 mm y una presión manométrica de 40 kPa. El diámetro de salida de la tobera es 20 mm, y la diferencia de altura a través de la tobera es despreciable. Despreciando las pérdidas y la resistencia del aire, halla la altura H que sube el chorro por encima de la tobera. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 40 kPa (manométrica)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 0,9 m/s por una tubería horizontal de 50 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.

V = 0,9 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 250 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. La superficie libre del depósito superior está 6 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 0,2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 6 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

En un ensayo, una bomba impulsa 15 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 80 m mientras su eje absorbe 16,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.

Q = 15 L/sH = 80 mP_shaft = 16,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 20 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 13 m más alta. La tubería mide 100 m de longitud, tiene 100 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 300 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 4p_tank = 300 kPa

H = m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de tierra limpia tiene una anchura de fondo de 5 m y taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 2 m. n de Manning = 0,022 y la pendiente del fondo es S = 0,0005. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 5 my = 2 mz = 1,5n = 0,022S = 0,0005

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal trapecial de grava con una anchura de fondo de 5,5 m y taludes de 1:1 (horizontal:vertical) debe transportar 2,9 m³/s en régimen uniforme con un calado de 0,6 m. n de Manning = 0,025. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 2,9 m³/sb = 5,5 my = 0,6 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 128,8 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Respuesta

F = 128,8 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 5,349 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·2,5 = 128,8 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,302/(5,25·2,5) = 5,349 m

Respuesta

y_cp = 5,349 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 1,692 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidad ideal del chorro

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Caudal real

El coeficiente de descarga tiene en cuenta la contracción del chorro y el rozamiento en la arista.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·8,287 = 0,001692 m³/s = 1,692 L/s

Respuesta

Q = 1,692 L/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: H = 4,098 m

Velocidad de salida

β = 20/75 = 0,2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9949)) = 8,967 m/s

Altura del chorro

Bernoulli a lo largo del chorro: en lo más alto la velocidad es nula y la presión vuelve a ser la atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 8,967²/(2·9,81) = 4,098 m

Respuesta

H = 4,098 m

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δp = 4,05 kPa

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Pérdida de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,075)·0,9²/(2·9,81) = 0,4128 m

Caída de presión

La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,4128 = 4050 Pa = 4,05 kPa

Respuesta

Δp = 4,05 kPa

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 102,7 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

6 = (24 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·6/26,9) = 2,092 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 2,092·0,04909 = 0,1027 m³/s = 102,7 L/s

Respuesta

Q = 102,7 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: η = 70,07 %

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·80 = 11,77 kW

Rendimiento

η = P_h/P_shaft = 11,77/16,8 = 70,07%

Respuesta

η = 70,07%

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 49,86 m

Velocidad

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,3305 = 6,28 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 13 + 30,58 + 6,28 = 49,86 m

Respuesta

H = 49,86 m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 19,47 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (5 + 1,5·2)·2 = 16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2·√(1 + 1,5²) = 12,21 m

R = A/P = 1,31 m

Velocidad

V = (1/0,022)·1,31^2/3·0,0005^1/2 = 1,217 m/s

Caudal

Q = A·V = 16·1,217 = 19,47 m³/s

Respuesta

Q = 19,47 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,0009667 m/m

Geometría

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·0,6)·0,6 = 3,66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,6·√(1 + 1²) = 7,197 m

R = A/P = 0,5085 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·2,9/(3,66·0,6371) = 0,03109

S = 0,03109² = 0,0009667

Respuesta

S = 0,0009667

Eso supone un desnivel de 0,9667 m por kilómetro.

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