Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 0,5 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 200 mm a 100 mm circulan 25 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 240 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 25 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 240 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 50 mm mientras asciende 3 m. En la sección 1 la presión es 180 kPa y la velocidad 2,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 180 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 3 L/s por una tubería de 150 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 3 L/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 0,2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 60 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 20 m. El rendimiento de la bomba es del 78 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 90 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 60 L/sH = 20 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 120 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 10 m más alta. La tubería mide 400 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 4 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 120 L/sΔz = 10 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 4

H = m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de grava tiene una anchura de fondo de 5 m y taludes de 3:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 1,4 m. n de Manning = 0,025 y la pendiente del fondo es S = 0,0008. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 5 my = 1,4 mz = 3n = 0,025S = 0,0008

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal rectangular de grava de 1,5 m de anchura debe transportar 2,1 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1,1 m. n de Manning = 0,025. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 2,1 m³/sb = 1,5 my = 1,1 mn = 0,025

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 132,4 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·4,5 = 132,4 kN

Respuesta

F = 132,4 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 1,083 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1·1 = 9,81 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0,08333/(1·1) = 1,083 m

Respuesta

y_cp = 1,083 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 244,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,025/0,03142 = 0,7958 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 240 + ½·1000·(3,183² − 0,7958²)/1000 = 240 + 4,749 = 244,7 kPa

Respuesta

p₁ = 244,7 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 103,7 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 180 + (−46,88) − 29,43 = 103,7 kPa

Respuesta

p₂ = 103,7 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 0,7051 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 0,7051 m

Respuesta

h_f = 0,7051 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 2,993 m

Velocidad

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Pérdida de carga total

h_f = 13,5·0,1859 = 2,51 m

h_m = 2,6·0,1859 = 0,4834 m

Δz = h_f + h_m = 2,993 m

Respuesta

Δz = 2,993 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 16,77 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·20 = 11,77 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 11,77/0,78 = 15,09 kW

Potencia eléctrica

P_el = 15,09/0,9 = 16,77 kW

Respuesta

P_el = 16,77 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 20,97 m

Velocidad

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 4)·0,3046 = 10,97 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.

H = Δz + h_L = 10 + 10,97 = 20,97 m

Respuesta

H = 20,97 m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 13,88 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,4)·1,4 = 12,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,4·√(1 + 3²) = 13,85 m

R = A/P = 0,9297 m

Velocidad

V = (1/0,025)·0,9297^2/3·0,0008^1/2 = 1,078 m/s

Caudal

Q = A·V = 12,88·1,078 = 13,88 m³/s

Respuesta

Q = 13,88 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,002971 m/m

Geometría

A = b·y = 1,5·1,1 = 1,65 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,1 = 3,7 m

R = A/P = 0,4459 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·2,1/(1,65·0,5837) = 0,05451

S = 0,05451² = 0,002971

Respuesta

S = 0,002971

Eso supone un desnivel de 2,971 m por kilómetro.

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