Inversiones y valoración: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Valor temporal del dinero

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor actual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Varios periodos al año: i = r/m, N = m·n
Renta, valor actual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Dibuja una línea temporal con cada flujo de caja y su momento.
Ajusta el tipo al periodo: un tipo mensual para pagos mensuales.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ para importes únicos y las fórmulas de rentas para pagos iguales.
Comprueba el signo y el orden de magnitud de la respuesta.

Precio y rentabilidad de bonos

Precio del bono: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cupones semestrales: C/2, y/2 y 2n periodos
Rentabilidad corriente: C/P
Precio y rentabilidad: rentabilidad sube → precio baja

Método

Halla el cupón por periodo y la rentabilidad por periodo.
Precio = valor actual de los cupones (una renta) + valor actual del nominal.
Con cupones semestrales usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
Comprueba: si la rentabilidad supera el tipo del cupón, el precio está por debajo del nominal.

CAPM y WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor de la empresa: V = E + D

VAN y TIR

Valor actual neto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flujos iguales: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasa interna de retorno: el r con el que NPV = 0
Decisión: aceptar si NPV > 0 (o IRR > rentabilidad exigida)

Método

Anota todos los flujos de caja con su año; la inversión del año 0 es negativa.
Descuenta cada flujo de caja: CF_t/(1 + r)^t.
Súmalos para obtener el VAN. Si es positivo, el proyecto rinde más que r.
Para la TIR, busca el tipo que anula el VAN por tanteo o interpolación.

2Problemas de práctica

1.Valor temporal del dineroMedia

Inviertes €5 000 al 6 % anual con capitalización continua. Halla el valor FV al cabo de 4 años.

PV = €5 000r = 6%t = 4

FV = €

2.Valor temporal del dineroDifícil

Ingresas €2 500 al principio de cada año durante 25 años; el primer ingreso es hoy. La cuenta paga un 5 % anual. ¿Cuánto hay en la cuenta al final del año 25? Calcula FV.

A = €2 500i = 5%n = 25

FV = €

3.Precio y rentabilidad de bonosMedia

Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual de 4,5% y vence dentro de 12 años. Su rentabilidad al vencimiento pasa del 3,5% al 4%. ¿Cuánto ΔP varía el precio del bono?

F = €1 000cupón = 4,5%n = 12y₁ = 3,5%y₂ = 4%

ΔP = €

4.Precio y rentabilidad de bonosDifícil

Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 5% vence dentro de 7 años y cotiza a €1 060. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.

F = €1 000cupón = 5%n = 7P = €1 060

YTM = %

5.CAPM y WACCMedia

Una empresa tiene un ratio deuda/fondos propios (a valor de mercado) de 1. Su coste de los fondos propios es del 13%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 4,5% y el tipo impositivo es del 28%. Halla el WACC.

D/E = 1r_e = 13%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM y WACCDifícil

Una empresa tiene 2 000 000 acciones a €15,50 cada una y 40 000 bonos que cotizan a €1 050 cada uno. El coste de la deuda antes de impuestos es del 4,5% y el tipo impositivo es del 30%. La beta de la acción es 0,9, el tipo libre de riesgo es del 1% y la rentabilidad del mercado es del 6,5%. Calcula el WACC.

β = 0,9r_f = 1%r_m = 6,5%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

7.VAN y TIRMedia

Una inversión de €60 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 3: €20 000, €24 000, €28 000. El coste de capital es del 12 %. Calcula el valor actual neto NPV.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 24 000CF₃ = 28 000

NPV = €

8.VAN y TIRDifícil

Un proyecto cuesta €20 000 y genera €8 500, €9 500, €7 500, €9 500 al final de los años 1 a 4. Los flujos de caja pueden reinvertirse al coste de capital del 6 %. Halla la tasa interna de rentabilidad modificada MIRR en porcentaje.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 9 500CF₃ = 7 500CF₄ = 9 500

MIRR = %

3Disoluciones

1.Valor temporal del dinero

Respuesta: FV = 6356 €

Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.

Exponente

r·t = 0,06·4 = 0,24

e^0,24 = 1,271

Valor futuro

FV = 5 000·1,271 = €6 356,25

Respuesta

FV = €6 356,25

2.Valor temporal del dinero

Respuesta: FV = 125284 €

Factor de renta pospagable

((1 + 0,05)²⁵ − 1)/0,05 = 47,73

Renta prepagable

Cada ingreso está invertido un año más.

FV = 2 500·47,73·1,05 = €125 283,63

Respuesta

FV = €125 283,63

3.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: ΔP = −49,71 €

Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.

Precio con la rentabilidad anterior

C = €45,00, i = 0,035, N = 12

€45,00·(1 − 0,6618)/0,035 + €1 000·0,6618 = €434,85 + €661,78 = €1 096,63

Precio con la nueva rentabilidad

C = €45,00, i = 0,04, N = 12

€45,00·(1 − 0,6246)/0,04 + €1 000·0,6246 = €422,33 + €624,60 = €1 046,93

Variación

ΔP = 1 046,93 − 1 096,63 = −€49,71

Respuesta

ΔP = −€49,71

4.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: YTM = 4 %

Ecuación de la rentabilidad

€1 060 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Resolver numéricamente

P(4%) = €1 060,02, P(5%) = €1 000,00

YTM = 4%

Respuesta

YTM = 4%

5.CAPM y WACC

Respuesta: WACC = 8,12 %

Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).

Pesos a partir de D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·4,5%·(1 − 0,28) = 8,12%

Respuesta

WACC = 8,12%

6.CAPM y WACC

Respuesta: WACC = 4,339 %

Valores de mercado

E = 2 000 000·€15,50 = €31 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Coste de los fondos propios (CAPM)

r_e = 1% + 0,9·5,5% = 5,95%

Ponderaciones

V = €73 000 000, E/V = 0,4247, D/V = 0,5753

WACC

WACC = 0,4247·5,95% + 0,5753·4,5%·(1 − 0,3) = 4,339%

Respuesta

WACC = 4,339%

7.VAN y TIR

Respuesta: NPV = −3080 €

Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.

Valor actual de cada flujo

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 20 000/1,12 = 17 857,14

CF₂/(1 + 0,12)² = 24 000/1,254 = 19 132,65

CF₃/(1 + 0,12)³ = 28 000/1,405 = 19 929,85

Sumarlos

NPV = €−3 080,36

Respuesta

NPV = €−3 080,36

El VAN es negativo, así que el proyecto rinde menos que la rentabilidad exigida.

8.VAN y TIR

Respuesta: MIRR = 17,6 %

TIR modificada: capitaliza cada cobro hasta el final del proyecto al tipo de reinversión (normalmente el coste de capital) para obtener el valor final VF. La TIRM es el tipo que convierte la inversión inicial en VF: TIRM = (VF/C₀)^(1/n) − 1.

Valor final de los cobros

8 500·1,06³ = 10 123,64

9 500·1,06² = 10 674,20

7 500·1,06¹ = 7 950,00

9 500·1,06⁰ = 9 500,00

TV = 38 247,84

MIRR

MIRR = (38 247,84/20 000)^1/4 − 1 = 17,6%

Respuesta

MIRR = 17,6%

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