Inversiones y valoración: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Valor temporal del dinero

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor actual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Varios periodos al año: i = r/m, N = m·n
Renta, valor actual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Dibuja una línea temporal con cada flujo de caja y su momento.
Ajusta el tipo al periodo: un tipo mensual para pagos mensuales.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ para importes únicos y las fórmulas de rentas para pagos iguales.
Comprueba el signo y el orden de magnitud de la respuesta.

Precio y rentabilidad de bonos

Precio del bono: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cupones semestrales: C/2, y/2 y 2n periodos
Rentabilidad corriente: C/P
Precio y rentabilidad: rentabilidad sube → precio baja

Método

Halla el cupón por periodo y la rentabilidad por periodo.
Precio = valor actual de los cupones (una renta) + valor actual del nominal.
Con cupones semestrales usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
Comprueba: si la rentabilidad supera el tipo del cupón, el precio está por debajo del nominal.

CAPM y WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor de la empresa: V = E + D

VAN y TIR

Valor actual neto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flujos iguales: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasa interna de retorno: el r con el que NPV = 0
Decisión: aceptar si NPV > 0 (o IRR > rentabilidad exigida)

Método

Anota todos los flujos de caja con su año; la inversión del año 0 es negativa.
Descuenta cada flujo de caja: CF_t/(1 + r)^t.
Súmalos para obtener el VAN. Si es positivo, el proyecto rinde más que r.
Para la TIR, busca el tipo que anula el VAN por tanteo o interpolación.

2Problemas de práctica

1.Valor temporal del dineroMedia

Inviertes €1 000 a un tipo nominal del 6 % anual con capitalización trimestral. Calcula el valor FV de la inversión al cabo de 8 años.

PV = €1 0006% / 4n = 8

FV = €

2.Valor temporal del dineroDifícil

Ingresas €3 000 al principio de cada año durante 17 años; el primer ingreso es hoy. La cuenta paga un 3 % anual. ¿Cuánto hay en la cuenta al final del año 17? Calcula FV.

A = €3 000i = 3%n = 17

FV = €

3.Precio y rentabilidad de bonosMedia

Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual de 6% y vence dentro de 15 años. Su rentabilidad al vencimiento pasa del 7% al 5,5%. ¿Cuánto ΔP varía el precio del bono?

F = €1 000cupón = 6%n = 15y₁ = 7%y₂ = 5,5%

ΔP = €

4.Precio y rentabilidad de bonosDifícil

Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 7% vence dentro de 7 años y cotiza a €875. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.

F = €1 000cupón = 7%n = 7P = €875

YTM = %

5.CAPM y WACCMedia

Una acción con una beta de 2 tiene una rentabilidad exigida del 16,5%. El tipo libre de riesgo es del 2,5%. ¿Qué rentabilidad esperada del mercado r_m implica el CAPM?

β = 2r_e = 16,5%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM y WACCDifícil

El negocio de una empresa tiene una beta desapalancada (de los activos) de 0,9. Planea un ratio deuda/fondos propios de 1. El tipo impositivo es del 30%, el tipo libre de riesgo del 1,5% y la prima de riesgo de mercado del 4,5%. Halla el coste de los fondos propios r_e con la nueva estructura de capital.

β_U = 0,9D/E = 1T = 30%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.VAN y TIRMedia

Una inversión de €60 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 3: €19 000, €25 000, €29 000. El coste de capital es del 10 %. Calcula el valor actual neto NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 25 000CF₃ = 29 000

NPV = €

8.VAN y TIRDifícil

Un proyecto cuesta €200 000 hoy. Su flujo de caja es de €30 000 al final del año 1 y crece un 5 % anual hasta el último flujo, al final del año 6. El coste de capital es del 8 %. Halla el valor actual neto NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €30 000g = 5%n = 6r = 8%

NPV = €

3Disoluciones

1.Valor temporal del dinero

Respuesta: FV = 1610 €

Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.

Tipo y número de periodos

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·8 = 32

Valor futuro

FV = 1 000·(1 + 0,015)³² = 1 000·1,61 = €1 610,32

Respuesta

FV = €1 610,32

2.Valor temporal del dinero

Respuesta: FV = 67243 €

Factor de renta pospagable

((1 + 0,03)¹⁷ − 1)/0,03 = 21,76

Renta prepagable

Cada ingreso está invertido un año más.

FV = 3 000·21,76·1,03 = €67 243,31

Respuesta

FV = €67 243,31

3.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: ΔP = 141,3 €

Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.

Precio con la rentabilidad anterior

C = €60,00, i = 0,07, N = 15

€60,00·(1 − 0,3624)/0,07 + €1 000·0,3624 = €546,47 + €362,45 = €908,92

Precio con la nueva rentabilidad

C = €60,00, i = 0,055, N = 15

€60,00·(1 − 0,4479)/0,055 + €1 000·0,4479 = €602,25 + €447,93 = €1 050,19

Variación

ΔP = 1 050,19 − 908,92 = €141,27

Respuesta

ΔP = €141,27

4.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: YTM = 9,528 %

Ecuación de la rentabilidad

€875 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Resolver numéricamente

P(9%) = €899,34, P(10%) = €853,95

YTM = 9,528%

Respuesta

YTM = 9,528%

5.CAPM y WACC

Respuesta: r_m = 9,5 %

Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).

Prima de riesgo de mercado

r_m − r_f = (16,5% − 2,5%)/2 = 7%

Rentabilidad del mercado

r_m = 2,5% + 7% = 9,5%

Respuesta

r_m = 9,5%

6.CAPM y WACC

Respuesta: r_e = 8,385 %

Beta apalancada (Hamada): la deuda hace más arriesgados los fondos propios. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), donde β_U es la beta del negocio sin deuda. Para pasar una beta a otra estructura de capital, desapaláncala primero y luego vuelve a apalancarla con la nueva D/E.

Beta apalancada

β_L = 0,9·(1 + 0,7·1) = 1,53

Coste de los fondos propios (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,53·4,5% = 8,385%

Respuesta

r_e = 8,385%

7.VAN y TIR

Respuesta: NPV = −278 €

Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.

Valor actual de cada flujo

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 19 000/1,1 = 17 272,73

CF₂/(1 + 0,1)² = 25 000/1,21 = 20 661,16

CF₃/(1 + 0,1)³ = 29 000/1,331 = 21 788,13

Sumarlos

NPV = €−277,99

Respuesta

NPV = €−277,99

El VAN es negativo, así que el proyecto rinde menos que la rentabilidad exigida.

8.VAN y TIR

Respuesta: NPV = −44488 €

Valor actual de la renta creciente

((1,05)/(1,08))⁶ = 0,8445

PV = 30 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8445) = 155 512,43

NPV

NPV = 155 512,43 − 200 000 = −€44 487,57

Respuesta

NPV = −€44 487,57

El VAN es negativo, así que el proyecto rinde menos que la rentabilidad exigida.

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