Inversiones y valoración: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Valor temporal del dinero

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor actual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Varios periodos al año: i = r/m, N = m·n
Renta, valor actual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Dibuja una línea temporal con cada flujo de caja y su momento.
Ajusta el tipo al periodo: un tipo mensual para pagos mensuales.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ para importes únicos y las fórmulas de rentas para pagos iguales.
Comprueba el signo y el orden de magnitud de la respuesta.

Precio y rentabilidad de bonos

Precio del bono: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cupones semestrales: C/2, y/2 y 2n periodos
Rentabilidad corriente: C/P
Precio y rentabilidad: rentabilidad sube → precio baja

Método

Halla el cupón por periodo y la rentabilidad por periodo.
Precio = valor actual de los cupones (una renta) + valor actual del nominal.
Con cupones semestrales usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
Comprueba: si la rentabilidad supera el tipo del cupón, el precio está por debajo del nominal.

CAPM y WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor de la empresa: V = E + D

VAN y TIR

Valor actual neto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flujos iguales: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasa interna de retorno: el r con el que NPV = 0
Decisión: aceptar si NPV > 0 (o IRR > rentabilidad exigida)

Método

Anota todos los flujos de caja con su año; la inversión del año 0 es negativa.
Descuenta cada flujo de caja: CF_t/(1 + r)^t.
Súmalos para obtener el VAN. Si es positivo, el proyecto rinde más que r.
Para la TIR, busca el tipo que anula el VAN por tanteo o interpolación.

2Problemas de práctica

1.Valor temporal del dineroMedia

Se espera que un inmueble genere un alquiler neto de €2 000 el año que viene. Se espera que el alquiler crezca un 1,5 % anual para siempre. La rentabilidad exigida es del 3,5 % anual. Halla el valor PV del inmueble hoy.

C₁ = €2 000g = 1,5%r = 3,5%

PV = €

2.Valor temporal del dineroDifícil

Ahorras €200 al final de cada mes durante 17 años. La cuenta paga un 3 % anual con capitalización mensual. ¿Cuánto has ahorrado al final? Calcula FV.

A = €2003% / 12N = 204

FV = €

3.Precio y rentabilidad de bonosMedia

Un bono con un valor nominal de €1 000 vence dentro de 7 años y paga cupones anuales. Se vende a €1 286 cuando la rentabilidad al vencimiento es del 2,5%. Halla el tipo de cupón c en porcentaje.

F = €1 000n = 7P = €1 286YTM = 2,5%

c = %

4.Precio y rentabilidad de bonosDifícil

Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual del 4,5% en dos pagos semestrales y vence dentro de 7 años. Se vende a €1 128. Halla su rentabilidad al vencimiento YTM como tipo anual (el doble de la rentabilidad semestral), en porcentaje.

F = €1 000cupón = 4,5% (2×)n = 7P = €1 128

YTM = %

5.CAPM y WACCMedia

Una empresa tiene un ratio deuda/fondos propios (a valor de mercado) de 1. Su coste de los fondos propios es del 8%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 4% y el tipo impositivo es del 25%. Halla el WACC.

D/E = 1r_e = 8%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

6.CAPM y WACCDifícil

El negocio de una empresa tiene una beta desapalancada (de los activos) de 0,9. Planea un ratio deuda/fondos propios de 0,25. El tipo impositivo es del 25,8%, el tipo libre de riesgo del 4% y la prima de riesgo de mercado del 5,5%. Halla el coste de los fondos propios r_e con la nueva estructura de capital.

β_U = 0,9D/E = 0,25T = 25,8%r_f = 4%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

7.VAN y TIRMedia

Una inversión de €75 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 3: €31 000, €27 000, €36 000. El coste de capital es del 7,000000000000001 %. Calcula el valor actual neto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 31 000CF₂ = 27 000CF₃ = 36 000

NPV = €

8.VAN y TIRDifícil

Un proyecto cuesta €20 000 y devuelve €9 500, €7 000, €13 000 al final de los años 1 a 3. Calcula su tasa interna de rentabilidad IRR en porcentaje.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 7 000CF₃ = 13 000

IRR = %

3Disoluciones

1.Valor temporal del dinero

Respuesta: PV = 100000 €

Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.

Renta perpetua creciente

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,035 − 0,015) = 2 000/0,02 = €100 000,00

Respuesta

PV = €100 000,00

2.Valor temporal del dinero

Respuesta: FV = 53139 €

Tipo mensual y número de ingresos

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·17 = 204

Valor futuro de los ingresos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,664 − 1)/0,0025 = €53 138,53

Respuesta

FV = €53 138,53

Tú pusiste €40 800; el resto son intereses.

3.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: c = 7,004 %

Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.

Valor actual del nominal

1000·(1 + 0,025)⁻⁷ = €841,27

Cupón

C = (1286 − 841,27)/6,349 = €70,04

Tipo del cupón

c = 70,04/1000 = 7,004%

Respuesta

c = 7,004%

4.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: YTM = 2,496 %

Por periodo

C = €22,50, N = 14

Resolver numéricamente

i = 1,248% por semestre

YTM

YTM = 2·1,248% = 2,496%

Respuesta

YTM = 2,496%

5.CAPM y WACC

Respuesta: WACC = 5,5 %

Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).

Pesos a partir de D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8% + 0,5·4%·(1 − 0,25) = 5,5%

Respuesta

WACC = 5,5%

6.CAPM y WACC

Respuesta: r_e = 9,868 %

Beta apalancada (Hamada): la deuda hace más arriesgados los fondos propios. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), donde β_U es la beta del negocio sin deuda. Para pasar una beta a otra estructura de capital, desapaláncala primero y luego vuelve a apalancarla con la nueva D/E.

Beta apalancada

β_L = 0,9·(1 + 0,742·0,25) = 1,067

Coste de los fondos propios (CAPM)

r_e = 4% + 1,067·5,5% = 9,868%

Respuesta

r_e = 9,868%

7.VAN y TIR

Respuesta: NPV = 6942 €

Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.

Valor actual de cada flujo

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 31 000/1,07 = 28 971,96

CF₂/(1 + 0,07)² = 27 000/1,145 = 23 582,85

CF₃/(1 + 0,07)³ = 36 000/1,225 = 29 386,72

Sumarlos

NPV = €6 941,53

Respuesta

NPV = €6 941,53

El VAN es positivo, así que el proyecto rinde más que la rentabilidad exigida.

8.VAN y TIR

Respuesta: IRR = 20,91 %

Acotar la TIR

El VAN baja al subir el tipo, así que la TIR está entre un tipo con VAN positivo y otro con VAN negativo.

NPV(20%) = 300,93

NPV(25%) = −1 264,00

Acotar

La interpolación lineal da una primera estimación; repetirla (o la función TIR de una calculadora) da el tipo exacto.

IRR ≈ 20 + 5·300,93/(300,93 − (−1 264,00)) = 20,96%

exacto: NPV(20,91%) = 0 → IRR = 20,91%

Respuesta

IRR = 20,91%

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