Inversiones y valoración: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Valor temporal del dinero

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor actual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Varios periodos al año: i = r/m, N = m·n
Renta, valor actual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Dibuja una línea temporal con cada flujo de caja y su momento.
Ajusta el tipo al periodo: un tipo mensual para pagos mensuales.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ para importes únicos y las fórmulas de rentas para pagos iguales.
Comprueba el signo y el orden de magnitud de la respuesta.

Precio y rentabilidad de bonos

Precio del bono: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cupones semestrales: C/2, y/2 y 2n periodos
Rentabilidad corriente: C/P
Precio y rentabilidad: rentabilidad sube → precio baja

Método

Halla el cupón por periodo y la rentabilidad por periodo.
Precio = valor actual de los cupones (una renta) + valor actual del nominal.
Con cupones semestrales usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
Comprueba: si la rentabilidad supera el tipo del cupón, el precio está por debajo del nominal.

CAPM y WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor de la empresa: V = E + D

VAN y TIR

Valor actual neto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flujos iguales: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasa interna de retorno: el r con el que NPV = 0
Decisión: aceptar si NPV > 0 (o IRR > rentabilidad exigida)

Método

Anota todos los flujos de caja con su año; la inversión del año 0 es negativa.
Descuenta cada flujo de caja: CF_t/(1 + r)^t.
Súmalos para obtener el VAN. Si es positivo, el proyecto rinde más que r.
Para la TIR, busca el tipo que anula el VAN por tanteo o interpolación.

2Problemas de práctica

1.Valor temporal del dineroMedia

Inviertes €1 000 al 4 % anual con capitalización continua. Halla el valor FV al cabo de 4 años.

PV = €1 000r = 4%t = 4

FV = €

2.Valor temporal del dineroDifícil

Un préstamo de €25 000 se devuelve con cuotas mensuales iguales durante 3 años al 3 % anual con capitalización mensual. ¿Cuántos intereses I se pagan en total durante la vida del préstamo?

P = €25 0003% / 12N = 36

I = €

3.Precio y rentabilidad de bonosMedia

Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual del 4,5% en dos pagos semestrales y vence dentro de 5 años. La rentabilidad al vencimiento es del 5,5% anual. Calcula el precio P del bono.

F = €1 000cupón = 4,5%YTM = 5,5%n = 5

P = €

4.Precio y rentabilidad de bonosDifícil

Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 8% vence dentro de 10 años y cotiza a €875. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.

F = €1 000cupón = 8%n = 10P = €875

YTM = %

5.CAPM y WACCMedia

Una empresa tiene fondos propios por valor de €4 000 000 y deuda por valor de €1 000 000. Su WACC es del 9,4%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 4% y el tipo impositivo es del 25%. Halla el coste de los fondos propios r_e.

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 9,4%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

6.CAPM y WACCDifícil

Una empresa tiene fondos propios con un valor de mercado de €8 000 000 y un coste de los fondos propios del 11%. Su deuda consiste en 8 000 bonos (valor nominal €1 000, cupón anual 4%, 7 años hasta el vencimiento) que cotizan a €971 cada uno. El tipo impositivo es del 20%. Halla el WACC, usando la rentabilidad al vencimiento de los bonos como coste de la deuda antes de impuestos.

E = €8 000 000r_e = 11%bonos: 8 000 × €971cupón = 4%n = 7T = 20%

WACC = %

7.VAN y TIRMedia

Una máquina cuesta €40 000 hoy. Genera €9 500 al final de cada año durante 5 años y después puede venderse por €8 000. El coste de capital es del 8 %. Halla el valor actual neto NPV.

C₀ = €40 000CF = €9 500S = €8 000n = 5r = 8%

NPV = €

8.VAN y TIRDifícil

El proyecto A cuesta €10 000 y genera €5 500, €4 000, €2 000 al final de los años 1 a 3. El proyecto B cuesta €15 000 y genera €4 000, €6 000, €7 500. Halla el tipo de cruce de Fisher r* con el que ambos proyectos tienen el mismo VAN, en porcentaje.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 000, 6 000, 7 500

r* = %

3Disoluciones

1.Valor temporal del dinero

Respuesta: FV = 1174 €

Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.

Exponente

r·t = 0,04·4 = 0,16

e^0,16 = 1,174

Valor futuro

FV = 1 000·1,174 = €1 173,51

Respuesta

FV = €1 173,51

2.Valor temporal del dinero

Respuesta: I = 1173 €

Cuota mensual

i = 0,0025, N = 36

A = 25 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁶) = €727,03

Intereses totales

I = N·A − P = 36·727 − 25 000 = €1 173,09

Respuesta

I = €1 173,09

3.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: P = 956,8 €

Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.

Por periodo

C = €22,50, i = 0,0275, N = 10

Valor actual de los cupones

€22,50·(1 − 0,7624)/0,0275 = €194,40

Valor actual del nominal

€1 000·0,7624 = €762,40

Precio

P = €956,80

Respuesta

P = €956,80

La rentabilidad supera el tipo de cupón, así que el bono se vende con descuento (bajo la par).

4.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: YTM = 10,04 %

Ecuación de la rentabilidad

€875 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Resolver numéricamente

P(10%) = €877,11, P(11%) = €823,32

YTM = 10,04%

Respuesta

YTM = 10,04%

5.CAPM y WACC

Respuesta: r_e = 11 %

Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).

Ponderaciones

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Parte de la deuda en el WACC

0,2·4%·(1 − 0,25) = 0,6%

Coste de los fondos propios

r_e = (9,4% − 0,6%)/0,8 = 11%

Respuesta

r_e = 11%

6.CAPM y WACC

Respuesta: WACC = 7,351 %

Coste de la deuda (YTM)

971 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 4,492%

Valores de mercado

D = 8 000·€971 = €7 768 000

V = €15 768 000, E/V = 0,5074, D/V = 0,4926

WACC

WACC = 0,5074·11% + 0,4926·4,492%·(1 − 0,2) = 7,351%

Respuesta

WACC = 7,351%

7.VAN y TIR

Respuesta: NPV = 3375 €

Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.

Valor actual de los flujos de caja anuales

9 500·3,993 = 37 930,75

Valor actual del valor residual

8 000/1,469 = 5 444,67

NPV

NPV = −40 000 + 37 930,75 + 5 444,67 = €3 375,41

Respuesta

NPV = €3 375,41

8.VAN y TIR

Respuesta: r* = 5,886 %

Tipo de cruce (tasa de Fisher): el tipo de descuento con el que dos proyectos tienen el mismo VAN. Es la TIR de la diferencia de sus flujos de caja (B − A). Por debajo de él, el proyecto con flujos más tardíos y grandes tiene mayor VAN; por encima, gana el otro.

Diferencia de flujos de caja

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 7 500 − 2 000 = 5 500

TIR de la diferencia

NPV_Δ(5%) = 136,59

NPV_Δ(6%) = −17,20

r* = 5,886%

Respuesta

r* = 5,886%

Comprobación: al 5,886% ambos VAN valen €446,54.

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