Inversiones y valoración: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Valor temporal del dinero

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor actual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Varios periodos al año: i = r/m, N = m·n
Renta, valor actual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Dibuja una línea temporal con cada flujo de caja y su momento.
Ajusta el tipo al periodo: un tipo mensual para pagos mensuales.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ para importes únicos y las fórmulas de rentas para pagos iguales.
Comprueba el signo y el orden de magnitud de la respuesta.

Precio y rentabilidad de bonos

Precio del bono: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cupones semestrales: C/2, y/2 y 2n periodos
Rentabilidad corriente: C/P
Precio y rentabilidad: rentabilidad sube → precio baja

Método

Halla el cupón por periodo y la rentabilidad por periodo.
Precio = valor actual de los cupones (una renta) + valor actual del nominal.
Con cupones semestrales usa la mitad del cupón, la mitad de la rentabilidad y el doble de periodos.
Comprueba: si la rentabilidad supera el tipo del cupón, el precio está por debajo del nominal.

CAPM y WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor de la empresa: V = E + D

VAN y TIR

Valor actual neto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flujos iguales: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasa interna de retorno: el r con el que NPV = 0
Decisión: aceptar si NPV > 0 (o IRR > rentabilidad exigida)

Método

Anota todos los flujos de caja con su año; la inversión del año 0 es negativa.
Descuenta cada flujo de caja: CF_t/(1 + r)^t.
Súmalos para obtener el VAN. Si es positivo, el proyecto rinde más que r.
Para la TIR, busca el tipo que anula el VAN por tanteo o interpolación.

2Problemas de práctica

1.Valor temporal del dineroMedia

Inviertes €12 000 a un tipo nominal del 5 % anual con capitalización mensual. Calcula el valor FV de la inversión al cabo de 2 años.

PV = €12 0005% / 12n = 2

FV = €

2.Valor temporal del dineroDifícil

Un préstamo de €20 000 se devuelve con cuotas mensuales iguales durante 6 años al 3 % anual con capitalización mensual. ¿Cuántos intereses I se pagan en total durante la vida del préstamo?

P = €20 0003% / 12N = 72

I = €

3.Precio y rentabilidad de bonosMedia

Un bono con un valor nominal de €1 000 vence dentro de 7 años y paga cupones anuales. Se vende a €1 112 cuando la rentabilidad al vencimiento es del 6%. Halla el tipo de cupón c en porcentaje.

F = €1 000n = 7P = €1 112YTM = 6%

c = %

4.Precio y rentabilidad de bonosDifícil

Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 6% vence dentro de 9 años y cotiza a €905. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.

F = €1 000cupón = 6%n = 9P = €905

YTM = %

5.CAPM y WACCMedia

Una empresa tiene un ratio deuda/fondos propios (a valor de mercado) de 0,6. Su coste de los fondos propios es del 8%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 6% y el tipo impositivo es del 21%. Halla el WACC.

D/E = 0,6r_e = 8%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

6.CAPM y WACCDifícil

Una empresa tiene fondos propios con un valor de mercado de €8 000 000 y un coste de los fondos propios del 10%. Su deuda consiste en 8 000 bonos (valor nominal €1 000, cupón anual 5%, 9 años hasta el vencimiento) que cotizan a €932 cada uno. El tipo impositivo es del 25%. Halla el WACC, usando la rentabilidad al vencimiento de los bonos como coste de la deuda antes de impuestos.

E = €8 000 000r_e = 10%bonos: 8 000 × €932cupón = 5%n = 9T = 25%

WACC = %

7.VAN y TIRMedia

Una inversión de €20 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 4: €9 000, €8 000, €5 000, €8 000. El coste de capital es del 5 %. Calcula el valor actual neto NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 000CF₃ = 5 000CF₄ = 8 000

NPV = €

8.VAN y TIRDifícil

El proyecto A cuesta €30 000 y genera €17 500, €11 500, €7 000 al final de los años 1 a 3. El proyecto B cuesta €40 000 y genera €11 500, €15 000, €23 000. Halla el tipo de cruce de Fisher r* con el que ambos proyectos tienen el mismo VAN, en porcentaje.

A: −30 000, 17 500, 11 500, 7 000B: −40 000, 11 500, 15 000, 23 000

r* = %

3Disoluciones

1.Valor temporal del dinero

Respuesta: FV = 13259 €

Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.

Tipo y número de periodos

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·2 = 24

Valor futuro

FV = 12 000·(1 + 0,004167)²⁴ = 12 000·1,105 = €13 259,30

Respuesta

FV = €13 259,30

2.Valor temporal del dinero

Respuesta: I = 1879 €

Cuota mensual

i = 0,0025, N = 72

A = 20 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁷²) = €303,87

Intereses totales

I = N·A − P = 72·303,9 − 20 000 = €1 878,89

Respuesta

I = €1 878,89

3.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: c = 8,006 %

Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.

Valor actual del nominal

1000·(1 + 0,06)⁻⁷ = €665,06

Cupón

C = (1112 − 665,06)/5,582 = €80,06

Tipo del cupón

c = 80,06/1000 = 8,006%

Respuesta

c = 8,006%

4.Precio y rentabilidad de bonos

Respuesta: YTM = 7,489 %

Ecuación de la rentabilidad

€905 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Resolver numéricamente

P(7%) = €934,85, P(8%) = €875,06

YTM = 7,489%

Respuesta

YTM = 7,489%

5.CAPM y WACC

Respuesta: WACC = 6,777 %

Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).

Pesos a partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·8% + 0,375·6%·(1 − 0,21) = 6,777%

Respuesta

WACC = 6,777%

6.CAPM y WACC

Respuesta: WACC = 7,347 %

Coste de la deuda (YTM)

932 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 6%

Valores de mercado

D = 8 000·€932 = €7 456 000

V = €15 456 000, E/V = 0,5176, D/V = 0,4824

WACC

WACC = 0,5176·10% + 0,4824·6%·(1 − 0,25) = 7,347%

Respuesta

WACC = 7,347%

7.VAN y TIR

Respuesta: NPV = 6728 €

Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.

Valor actual de cada flujo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 9 000/1,05 = 8 571,43

CF₂/(1 + 0,05)² = 8 000/1,103 = 7 256,24

CF₃/(1 + 0,05)³ = 5 000/1,158 = 4 319,19

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 8 000/1,216 = 6 581,62

Sumarlos

NPV = €6 728,47

Respuesta

NPV = €6 728,47

El VAN es positivo, así que el proyecto rinde más que la rentabilidad exigida.

8.VAN y TIR

Respuesta: r* = 8,414 %

Tipo de cruce (tasa de Fisher): el tipo de descuento con el que dos proyectos tienen el mismo VAN. Es la TIR de la diferencia de sus flujos de caja (B − A). Por debajo de él, el proyecto con flujos más tardíos y grandes tiene mayor VAN; por encima, gana el otro.

Diferencia de flujos de caja

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 11 500 − 17 500 = −6 000

ΔCF₂ = 15 000 − 11 500 = 3 500

ΔCF₃ = 23 000 − 7 000 = 16 000

TIR de la diferencia

NPV_Δ(8%) = 146,45

NPV_Δ(9%) = −203,77

r* = 8,414%

Respuesta

r* = 8,414%

Comprobación: al 8,414% ambos VAN valen €1 419,70.

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