Engranajes y trenes de engranajes
- Engranajes en contacto
- n1·N1 = n2·N2
- Par
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Potencia
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Tren compuesto
- relación total = producto de las relaciones de cada etapa
Diseño de máquinas: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Vibraciones mecánicas
- Frecuencia natural
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- A partir de la deflexión estática
- ωn = √(g/δst)
- Amortiguamiento crítico
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Factor de amortiguamiento
- ζ = c/cc
- Frecuencia amortiguada
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Decremento logarítmico
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Muelles en paralelo
- k = k1 + k2
- Muelles en serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Problemas de práctica
1.Engranajes y trenes de engranajesMedia
Un motor de 1,1 kW que gira a 1500 rpm acciona un piñón de 16 dientes, que engrana con una rueda de 48 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 96 %. Halla el par de salida T2 en el eje de la rueda.
P = 1,1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 16N2 = 48η = 96%
T2 = N·m
2.Engranajes y trenes de engranajesDifícil
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (45 dientes), en el eje de entrada que gira a 1450 rpm, acciona el engranaje B (60 dientes). El engranaje C (15 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (16 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
nin = 1450 rpmA = 45B = 60C = 15D = 16
nout = rpm
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 500 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo debe transmitir 100 kW a 3000 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.
P = 100 kWN = 3000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θs, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).
σx = 60 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
6.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un eje macizo de 30 mm de diámetro soporta una fuerza axial de compresión de 100 kN junto con un par de 2000 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.
d = 30 mmF = −100 kNT = 2000 N·m
τmax = MPa
7.Tensión y deformación axialMedia
Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 60 mm, longitud 500 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.
tramo 1: acero, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
8.Tensión y deformación axialDifícil
Una varilla de acero (diámetro 25 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 120 MPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 70 GPa, tensión admisible 100 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga Pmax.
barra: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 55 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 55 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (acero)
d = mm
11.Vibraciones mecánicasMedia
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 30 mm le sigue 2 ciclos después un pico de 20,6 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
x0 = 30 mmx2 = 20,6 mmn = 2
ζ =
12.Vibraciones mecánicasDifícil
Una masa de 50 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 30 kN/m y el inferior k₂ = 12 kN/m. Halla la rigidez equivalente keq del sistema de muelles en kN/m.
m = 50 kgk1 = 30 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m
3Disoluciones
1.Engranajes y trenes de engranajes
Respuesta: T2 = 20,17 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Par del motor
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m
Par de salida
T2 = 7,003·48/16·0,96 = 20,17 N·m
Respuesta
T2 = 20,17 N·m
2.Engranajes y trenes de engranajes
Respuesta: nout = 1020 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Primera etapa
nB = 1450·45/60 = 1088 rpm = nC
Segunda etapa
nout = 1088·15/16 = 1020 rpm
Respuesta
nout = 1020 rpm
relación total = 1,422 : 1
3.Torsión de ejes
Respuesta: φ = 4,619 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(39000·79522) = 0,08061 rad
φ = 0,08061·180/π = 4,619°
Respuesta
φ = 4,619°
4.Torsión de ejes
Respuesta: d = 31,89 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m
Diámetro a partir de la tensión admisible
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·50)) = 31,89 mm
Respuesta
d = 31,89 mm
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
5.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: θs = −19,9 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ángulo en el círculo
En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.
cos 2θs = 60/78,1 = 0,7682, sin 2θs = −50/78,1 = −0,6402
2θs = atan2(−50, 60) = −39,81°
Ángulo en el elemento
θs = −19,9°
comprobación: θs − θp = −19,9 − 25,1 = −45°
Respuesta
θs = −19,9°
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
6.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τmax = 383,8 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Tensiones en la superficie
σ = F/A = −100000/(π·30²/4) = −100000/706,9 = −141,5 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa
Círculo de Mohr
C = σ/2 = −70,74 MPa
R = √((−70,74)² + 377,3²) = 383,8 MPa
Respuesta
τmax = 383,8 MPa
7.Tensión y deformación axial
Respuesta: P = 56,34 kN
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²
Flexibilidades
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1,608 × 10⁻⁶ mm/N
Carga
P = 0,25/4,437 × 10⁻⁶ = 56344 N = 56,34 kN
Respuesta
P = 56,34 kN
8.Tensión y deformación axial
Respuesta: Pmax = 372,3 kN
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
Rigidez axial combinada
ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·7461 = 6,205 × 10⁸ N
Deformación determinante
ε = min(0,0006, 0,001429) = 0,0006 (acero)
Mayor carga
Pmax = 0,0006·6,205 × 10⁸ = 372279 N = 372,3 kN
Respuesta
Pmax = 372,3 kN
9.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 315 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2100² = 314984 N = 315 kN
Respuesta
Pcr = 315 kN
10.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 51,61 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 51,61 mm
Respuesta
d = 51,61 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 193,8, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
11.Vibraciones mecánicas
Respuesta: ζ = 0,0299
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Decremento logarítmico
δ = (1/2)·ln(30/20,6) = 0,188
Factor de amortiguamiento
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,188/√(39,48 + 0,03533) = 0,0299
Respuesta
ζ = 0,0299
12.Vibraciones mecánicas
Respuesta: keq = 8,571 kN/m
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Rigidez equivalente
Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/30 + 1/12 → keq = 30·12/(30 + 12) = 8,571 kN/m
Respuesta
keq = 8,571 kN/m
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