Diseño de máquinas: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Engranajes y trenes de engranajes

Engranajes en contacto: n₁·N₁ = n₂·N₂
Par: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potencia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Tren compuesto: relación total = producto de las relaciones de cada etapa

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibraciones mecánicas

Frecuencia natural: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
A partir de la deflexión estática: ω_n = √(g/δ_st)
Amortiguamiento crítico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Factor de amortiguamiento: ζ = c/c_c
Frecuencia amortiguada: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logarítmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Muelles en paralelo: k = k₁ + k₂
Muelles en serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Problemas de práctica

1.Engranajes y trenes de engranajesMedia

Un motor de 1,5 kW que gira a 1440 rpm acciona un piñón de 50 dientes, que engrana con una rueda de 72 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 96 %. Halla el par de salida T₂ en el eje de la rueda.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 50N₂ = 72η = 96%

T₂ = N·m

2.Engranajes y trenes de engranajesDifícil

En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (12 dientes), en el eje de entrada que gira a 1500 rpm, acciona el engranaje B (25 dientes). El engranaje C (32 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (60 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida n_out.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 25C = 32D = 60

n_out = rpm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 10 kW a 300 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 150 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 45° en sentido horario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = 150 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,3 mm en total.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 60 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 115 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 115 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

11.Vibraciones mecánicasMedia

En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 10 mm le sigue 3 ciclos después un pico de 6,9 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.

x₀ = 10 mmx₃ = 6,9 mmn = 3

ζ =

12.Vibraciones mecánicasDifícil

Una masa de 20 kg cuelga de dos muelles unidos uno tras otro (en serie): el muelle superior tiene k₁ = 40 kN/m y el inferior k₂ = 50 kN/m. Halla la rigidez equivalente k_eq del sistema de muelles en kN/m.

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Disoluciones

1.Engranajes y trenes de engranajes

Respuesta: T₂ = 13,75 N·m

Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Par del motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Par de salida

T₂ = 9,947·72/50·0,96 = 13,75 N·m

Respuesta

T₂ = 13,75 N·m

2.Engranajes y trenes de engranajes

Respuesta: n_out = 384 rpm

Primera etapa

n_B = 1500·12/25 = 720 rpm = n_C

Segunda etapa

n_out = 720·32/60 = 384 rpm

Respuesta

n_out = 384 rpm

relación total = 3,906 : 1

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 2,626 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·613592) = 0,04584 rad

φ = 0,04584·180/π = 2,626°

Respuesta

φ = 2,626°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 6,509 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Momento polar de inercia

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·37,5/1,834 × 10⁶ = 6,509 MPa

Respuesta

τ_max = 6,509 MPa

5.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 155 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 125 − 25·0 − 30·(−1) = 155 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = 95 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 250 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 155 MPa

6.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −27,43 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −5·−0,6428 + −40·0,766 = −27,43 MPa

Respuesta

τ_θ = −27,43 MPa

7.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 28,27 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/1,061 × 10⁻⁵ = 28274 N = 28,27 kN

Respuesta

P = 28,27 kN

8.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 31,09 MPa

Rigideces

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 60000·293215/450295 = 39070 N

Tensión

σ₂ = 39070/1257 = 31,09 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 31,09 MPa

9.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 56,06 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2800² = 56060 N = 56,06 kN

Respuesta

P_cr = 56,06 kN

10.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 85,32 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 85,32 mm

Respuesta

d = 85,32 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 117,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

11.Vibraciones mecánicas

Respuesta: ζ = 0,01968

Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ω_n = √(k/m) en rad/s, y f_n = ω_n/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/c_c, con amortiguamiento crítico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Decremento logarítmico

δ = (1/3)·ln(10/6,9) = 0,1237

Factor de amortiguamiento

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1237/√(39,48 + 0,0153) = 0,01968

Respuesta

ζ = 0,01968

12.Vibraciones mecánicas

Respuesta: k_eq = 22,22 kN/m

Rigidez equivalente

Los muelles en serie soportan la misma fuerza y suman sus deformaciones, así que se combinan como inversos: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/50 → k_eq = 40·50/(40 + 50) = 22,22 kN/m

Respuesta

k_eq = 22,22 kN/m

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