Engranajes y trenes de engranajes
- Engranajes en contacto
- n1·N1 = n2·N2
- Par
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Potencia
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Tren compuesto
- relación total = producto de las relaciones de cada etapa
Diseño de máquinas: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Vibraciones mecánicas
- Frecuencia natural
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- A partir de la deflexión estática
- ωn = √(g/δst)
- Amortiguamiento crítico
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Factor de amortiguamiento
- ζ = c/cc
- Frecuencia amortiguada
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Decremento logarítmico
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Muelles en paralelo
- k = k1 + k2
- Muelles en serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Problemas de práctica
1.Engranajes y trenes de engranajesMedia
Un motor de 11 kW que gira a 1440 rpm acciona un piñón de 16 dientes y módulo 5 mm. Halla la fuerza tangencial Ft sobre los dientes del piñón.
P = 11 kWn = 1440 rpmN1 = 16m = 5 mm
Ft = N
2.Engranajes y trenes de engranajesDifícil
En un tren de engranajes compuesto, la rueda A (16 dientes) del eje de entrada gira a 2880 rpm y acciona la rueda B (50 dientes). La rueda C (45 dientes) está fijada al mismo eje que B y acciona la rueda D del eje de salida. La salida debe girar a 691,2 rpm. ¿Cuántos dientes ND debe tener la rueda D?
nin = 2880 rpmA = 16B = 50C = 45nout = 691,2 rpm
ND =
3.Torsión de ejesMedia
Un eje hueco debe transmitir un par de 750 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 80 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
T = 750 N·mdi/do = 0,6τallow = 80 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo de aluminio de 40 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 0,5 m de A, actúa un par de 400 N·m, y en el extremo libre C, 3 m más allá, actúa un par de 200 N·m en sentido contrario. Halla el valor del ángulo de torsión φC del extremo C, en grados.
d = 40 mmTB = 400 N·mTC = 200 N·mAB = 0,5 mBC = 3 mG = 26 GPa
φC = °
5.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.
σx = 100 MPaσy = −50 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
6.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un eje macizo de 30 mm de diámetro soporta una fuerza axial de compresión de 70 kN junto con un par de 100 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión principal mayor σ1.
d = 30 mmF = −70 kNT = 100 N·m
σ1 = MPa
7.Tensión y deformación axialMedia
Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 60 mm, longitud 200 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.
tramo 1: acero, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
8.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 30 kNtramo 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Vibraciones mecánicasMedia
En un ensayo de vibración libre de un sistema masa–muelle amortiguado, a un pico de desplazamiento de 50 mm le sigue un ciclo después un pico de 19,3 mm. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
x0 = 50 mmx1 = 19,3 mmn = 1
ζ =
12.Vibraciones mecánicasDifícil
Una masa de 20 kg cuelga de dos muelles uno al lado del otro (en paralelo), con rigideces k₁ = 60 kN/m y k₂ = 80 kN/m. La masa se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
m = 20 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3Disoluciones
1.Engranajes y trenes de engranajes
Respuesta: Ft = 1824 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Par en el piñón
ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T = P/ω = 11000/150,8 = 72,95 N·m
Diámetro primitivo
d = m·N = 5·16 = 80 mm
Fuerza tangencial
Ft = 2T/d = 2·72,95/0,08 = 1824 N
Respuesta
Ft = 1824 N
2.Engranajes y trenes de engranajes
Respuesta: ND = 60
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Velocidad del eje intermedio
nB = nC = 2880·16/50 = 921,6 rpm
Dientes de la rueda D
ND = C·nC/nout = 45·921,6/691,2 = 60
Respuesta
ND = 60
3.Torsión de ejes
Respuesta: do = 38 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·80·0,8704)) = 38 mm
di = 0,6·38 = 22,8 mm
Respuesta
do = 38 mm
Un eje macizo necesitaría d = 36,28 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
4.Torsión de ejes
Respuesta: φC = 4,384 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Pares internos
Se toma positivo el sentido de TC.
TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 400 = −200 N·m
Torsión de cada tramo
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = −200000·500/(26000·251327) = −0,0153 rad
φBC = 200000·3000/(26000·251327) = 0,09182 rad
Torsión del extremo C
φC = −0,0153 + 0,09182 = 0,07652 rad → |φC| = 4,384°
Respuesta
φC = 4,384°
5.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: θp = −7,466 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ángulo en el círculo
En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−20, 100 − −50) = −14,93°
Ángulo en el elemento
θp = −7,466°
Respuesta
θp = −7,466°
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
6.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σ1 = 3,471 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Tensiones en la superficie
σ = F/A = −70000/(π·30²/4) = −70000/706,9 = −99,03 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa
Círculo de Mohr
C = σ/2 = −49,51 MPa
R = √((−49,51)² + 18,86²) = 52,99 MPa
σ1 = C + R = 3,471 MPa
σ2 = C − R = −102,5 MPa
Respuesta
σ1 = 3,471 MPa
7.Tensión y deformación axial
Respuesta: P = 52,28 kN
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²
Flexibilidades
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N
Carga
P = 0,25/4,782 × 10⁻⁶ = 52282 N = 52,28 kN
Respuesta
P = 52,28 kN
8.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 265,3 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 23,87 MPa
σ2 = 265,3 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 265,3 MPa
Respuesta
σmax = 265,3 MPa
9.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 7,05 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/4200² = 7050 N = 7,05 kN
Respuesta
Pcr = 7,05 kN
10.Pandeo de pilares
Respuesta: σcr = 17,27 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Radio de giro y esbeltez
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200
Tensión crítica
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa
Respuesta
σcr = 17,27 MPa
11.Vibraciones mecánicas
Respuesta: ζ = 0,1498
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Decremento logarítmico
δ = (1/1)·ln(50/19,3) = 0,9519
Factor de amortiguamiento
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9519/√(39,48 + 0,9061) = 0,1498
Respuesta
ζ = 0,1498
12.Vibraciones mecánicas
Respuesta: fn = 13,32 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Rigidez equivalente
Los muelles uno al lado del otro comparten la deformación y suman sus fuerzas, así que sus rigideces simplemente se suman: k = k1 + k2.
keq = 60 + 80 = 140 kN/m
Frecuencia natural
ωn = √(140000/20) = 83,67 rad/s
fn = 83,67/(2π) = 13,32 Hz
Respuesta
fn = 13,32 Hz
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