Engranajes y trenes de engranajes
- Engranajes en contacto
- n1·N1 = n2·N2
- Par
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Potencia
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Tren compuesto
- relación total = producto de las relaciones de cada etapa
Diseño de máquinas: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Vibraciones mecánicas
- Frecuencia natural
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- A partir de la deflexión estática
- ωn = √(g/δst)
- Amortiguamiento crítico
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Factor de amortiguamiento
- ζ = c/cc
- Frecuencia amortiguada
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Decremento logarítmico
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Muelles en paralelo
- k = k1 + k2
- Muelles en serie
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Problemas de práctica
1.Engranajes y trenes de engranajesMedia
Un motor de 1,1 kW que gira a 1440 rpm acciona un piñón de 48 dientes, que engrana con una rueda de 60 dientes. El par de engranajes tiene un rendimiento del 95 %. Halla el par T1 en el eje del motor.
P = 1,1 kWn1 = 1440 rpmN1 = 48N2 = 60η = 95%
T1 = N·m
2.Engranajes y trenes de engranajesDifícil
En un tren de engranajes compuesto, el engranaje A (20 dientes), en el eje de entrada que gira a 1450 rpm, acciona el engranaje B (32 dientes). El engranaje C (16 dientes) está fijado al mismo eje que B y acciona el engranaje D (24 dientes) del eje de salida. Halla la velocidad de salida nout.
nin = 1450 rpmA = 20B = 32C = 16D = 24
nout = rpm
3.Torsión de ejesMedia
En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 20 mm de diámetro se tuerce con un par de 100 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 300 mm giran 1,37° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.
T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 1,37°
G = GPa
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo debe transmitir 20 kW a 1000 rpm sin que la tensión cortante supere 40 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θs, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).
σx = 140 MPaσy = 60 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 35° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).
σx = 50 MPaσy = 50 MPaτxy = −30 MPaθ = 35°
τθ = MPa
7.Tensión y deformación axialMedia
Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 60 mm, longitud 400 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,4 mm en total.
tramo 1: acero, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
8.Tensión y deformación axialDifícil
Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de latón (diámetro 60 mm, longitud 300 mm, E = 100 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 80 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.
tramo 1: acero, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 90 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 90 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm
11.Vibraciones mecánicasMedia
Una masa de 5 kg está soportada por un muelle con una rigidez de 200 kN/m y un amortiguador viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 160 N·s/m. Halla el factor de amortiguamiento ζ.
m = 5 kgk = 200 kN/mc = 160 N·s/m
ζ =
12.Vibraciones mecánicasDifícil
Una masa de 20 kg cuelga del muelle k₃ = 50 kN/m. El extremo superior de k₃ está unido a una barra rígida que cuelga de dos muelles uno al lado del otro, k₁ = 100 kN/m y k₂ = 10 kN/m; la barra se mantiene horizontal. Desprecia el amortiguamiento y las masas de los muelles y de la barra. Halla la frecuencia natural fn de vibración vertical en Hz.
m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz
3Disoluciones
1.Engranajes y trenes de engranajes
Respuesta: T1 = 7,295 N·m
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Par del motor
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m
Respuesta
T1 = 7,295 N·m
2.Engranajes y trenes de engranajes
Respuesta: nout = 604,2 rpm
Trenes de engranajes: los engranajes que engranan entre sí tienen la misma velocidad en los dientes, así que n₁·N₁ = n₂·N₂: el engranaje con menos dientes gira más rápido. Los engranajes montados en un mismo eje giran a la misma velocidad. La potencia se transmite (menos las pérdidas), así que el par aumenta cuando la velocidad disminuye: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, y P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Primera etapa
nB = 1450·20/32 = 906,3 rpm = nC
Segunda etapa
nout = 906,3·16/24 = 604,2 rpm
Respuesta
nout = 604,2 rpm
relación total = 2,4 : 1
3.Torsión de ejes
Respuesta: G = 79,87 GPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar y ángulo
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1,37·π/180 = 0,02391 rad
Módulo de elasticidad transversal
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0,02391) = 79874 MPa
G = 79,87 GPa
Respuesta
G = 79,87 GPa
Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.
4.Torsión de ejes
Respuesta: d = 28,97 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m
Diámetro a partir de la tensión admisible
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm
Respuesta
d = 28,97 mm
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
5.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: θs = −67,5 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ángulo en el círculo
En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.
cos 2θs = −40/56,57 = −0,7071, sin 2θs = −40/56,57 = −0,7071
2θs = atan2(−40, −40) = −135°
Ángulo en el elemento
θs = −67,5°
comprobación: θs − θp = −67,5 − (−22,5) = −45°
Respuesta
θs = −67,5°
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
6.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τθ = −10,26 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
τθ = −0·0,9397 + −30·0,342 = −10,26 MPa
Respuesta
τθ = −10,26 MPa
7.Tensión y deformación axial
Respuesta: P = 80,78 kN
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²
Flexibilidades
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1,415 × 10⁻⁶ mm/N
Carga
P = 0,4/4,951 × 10⁻⁶ = 80784 N = 80,78 kN
Respuesta
P = 80,78 kN
8.Tensión y deformación axial
Respuesta: σ2 = 19,59 MPa
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Rigideces
k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm
Parte del tramo 2
F2 = 80000·942478/1,361 × 10⁶ = 55385 N
Tensión
σ2 = 55385/2827 = 19,59 MPa (compresión)
Respuesta
σ2 = 19,59 MPa
9.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 3,731 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 1·5000 = 5000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/5000² = 3731 N = 3,731 kN
Respuesta
Pcr = 3,731 kN
10.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 80,25 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 80,25 mm
Respuesta
d = 80,25 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 124,6, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
11.Vibraciones mecánicas
Respuesta: ζ = 0,08
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Amortiguamiento crítico
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·5) = 2000 N·s/m
Factor de amortiguamiento
ζ = c/cc = 160/2000 = 0,08
Respuesta
ζ = 0,08
ζ < 1, así que el sistema es subamortiguado y oscila mientras se amortigua.
12.Vibraciones mecánicas
Respuesta: fn = 6,598 Hz
Vibración libre de un sistema masa–muelle: la pulsación natural sin amortiguamiento es ωn = √(k/m) en rad/s, y fn = ωn/(2π) en Hz. Un amortiguador viscoso c da el factor de amortiguamiento ζ = c/cc, con amortiguamiento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema subamortiguado (ζ < 1) oscila a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Los muelles en paralelo se suman, k = k₁ + k₂; los muelles en serie se suman como inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Rigidez equivalente
Solo k1 y k2 están en paralelo. Ese par está en serie con k3, así que combínalos como inversos.
k12 = 100 + 10 = 110 kN/m
keq = 110·50/(110 + 50) = 34,38 kN/m
Frecuencia natural
ωn = √(34375/20) = 41,46 rad/s
fn = 41,46/(2π) = 6,598 Hz
Respuesta
fn = 6,598 Hz
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