Medida e instrumentación: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Tensiones de los divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Pérdidas
Vab = Va − Vb
Balance
R1/R2 = R3/R4
Puente de hilo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistencia de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Factor de galga
ΔR/R = GF·ε
Salida del puente
cuarto Vs·GF·ε/4, medio Vs·GF·ε/2, completo Vs·GF·ε
Cambio pequeño, un brazo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensión
σ = E·ε

Método

  1. Trata el puente como dos divisores de tensión sobre la misma alimentación.
  2. Para el equilibrio, iguala R₁/R₂ = R₃/R₄ y despeja la resistencia desconocida.
  3. Para un puente desequilibrado, halla Va y Vb con los divisores y resta; usa el equivalente de Thévenin cuando un medidor carga la salida.
  4. Para las galgas extensométricas, convierte la deformación en ΔR/R = GF·ε y usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 para un cuarto, medio o puente completo.

Adquisición de datos y muestreo

Criterio de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frecuencia de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamaño del paso
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Error de cuantización (redondeo)
±½ LSB
Código del ADC con truncamiento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para una resolución r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide a fondo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Tasa de datos
canales × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baudios; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baudios/bits por trama
Divisor de la tasa de baudios
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anota los datos: frecuencia de muestreo, frecuencias de la señal, número de bits, rango de entrada, tasa de baudios.
  2. En las preguntas de muestreo, compara cada frecuencia con fs/2; una frecuencia mayor aparece en fa = |f − k·fs|, con el múltiplo de fs más cercano.
  3. En las preguntas de resolución, halla 1 LSB = VFSR/2ᴺ, o el menor N con 2ᴺ ≥ rango/resolución.
  4. En las tasas de datos y los enlaces UART, cuenta todo lo que se envía: canales, muestras por segundo, bits o bytes completos por muestra, y los bits de inicio, paridad y parada de cada trama.

Circuitos con amplificador operacional

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador no inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador sumador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Thévenin y Norton

Tensión de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistencia de Thévenin
Rth: todas las fuentes apagadas, vista desde a–b
Corriente de Norton
IN = Vth/Rth
Corriente en la carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferencia de potencia
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Quita la carga y marca los dos terminales a y b.
  2. Halla la tensión en circuito abierto entre a y b: es Vth.
  3. Anula todas las fuentes independientes y halla la resistencia vista desde a–b: es Rth.
  4. Vuelve a conectar la carga al circuito equivalente: Vth en serie con Rth.
  5. Para el equivalente de Norton, convierte: IN = Vth/Rth, con RN = Rth en paralelo.

2Problemas de práctica

1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasMedia
+−6 VR1​ = 120 ΩR2​ = 500 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 1000 ΩabGRg​ = 50 Ω

Se conecta un galvanómetro con una resistencia de 50 Ω entre a y b del puente mostrado (Vs = 6 V). Halla la corriente Ig del galvanómetro de a a b, en µA.

Vs = 6 VR1 = 120 ΩR2 = 500 ΩR3 = 500 ΩR4 = 1000 ΩRg = 50 Ω
Ig = µA
2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasDifícil
+−3 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−Vo​

Un cuarto de puente (una galga activa, GF = 2,12) se excita con 3 V. La mayor deformación que se quiere medir es de 400 µε, y debe dar 2,5 V a la entrada de un convertidor analógico-digital. Halla la ganancia del amplificador G.

Vs = 3 VGF = 2,12εmax = 400 µεVFS = 2,5 V
G =
3.Adquisición de datos y muestreoMedia
tTs​ = 1/fs​f = 7 kHzfs​ = 5 kHz

Una onda senoidal de 7 kHz se muestrea a 5 kHz sin filtro antialiasing. ¿En qué frecuencia fa aparece en las muestras? Dala en Hz.

f = 7 kHzfs = 5 kHz
fa = Hz
4.Adquisición de datos y muestreoDifícil
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​20 MHz / (16·D)

Un microcontrolador con un reloj de 20 MHz fija su tasa de baudios de la UART como fclk/(16·D), con D un número entero redondeado al valor más cercano. El objetivo es 115200 baudios. Halla el error porcentual de la tasa de baudios real (positivo cuando es demasiado rápida).

fclk = 20 MHzobjetivo = 115200 Bd
e = %
5.Circuitos con amplificador operacionalMedia
−+Vout​R2​ = 4,7 kΩV1​ = 0,1 VR1​ = 2 kΩV2​ = 0,4 VR3​ = 2 kΩR4​ = 4,7 kΩ

El amplificador diferencial usa un amplificador operacional ideal alimentado con ±15 V, con R3 = R1 y R4 = R2. Halla la tensión de salida Vout.

V1 = 0,1 VV2 = 0,4 VR1 = R3 = 2 kΩR2 = R4 = 4,7 kΩ
Vout = V
6.Circuitos con amplificador operacionalDifícil
Vin​V1​Vout​etapa 1: inversorR1​ = 2 kΩRf1​ = 10 kΩetapa 2: no inversorR2​ = 100 kΩRf2​ = 10 kΩ

Dos etapas con amplificadores operacionales ideales están conectadas en cascada: un amplificador inversor (R1, Rf1) seguido de un amplificador no inversor (R2 a tierra, Rf2 en la realimentación). Ambas se alimentan con ±15 V. La entrada es Vin = 0,6 V. Halla la tensión de salida Vout.

R1 = 2 kΩRf1 = 10 kΩR2 = 100 kΩRf2 = 10 kΩVin = 0,6 V
Vout = V
7.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​10 ΩB

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
8.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 30 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 ΩR6 = 3 Ω
Req = Ω
9.Thévenin y NortonMedia
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab

Halla la resistencia de Thévenin Rth vista desde los terminales a–b.

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin y NortonDifícil
R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAIs​3 ABRL​30 ΩIL​

Se conecta una carga RL = 30 Ω entre a–b. Usa un equivalente de Thévenin para hallar la potencia PL entregada a la carga.

V1 = 15 VIs = 3 AR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 30 ΩRL = 30 Ω
PL = W

3Disoluciones

1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Respuesta: Ig = 1747 µA

Puente de Wheatstone: dos divisores de tensión comparten una alimentación Vs. El divisor izquierdo R1–R2 da Va = Vs·R2/(R1 + R2) y el divisor derecho R3–R4 da Vb = Vs·R4/(R3 + R4); la salida es Vab = Va − Vb. El puente está equilibrado (Vab = 0, sin corriente en el medidor) cuando R1/R2 = R3/R4, es decir, R1·R4 = R2·R3. Visto desde la salida, el puente es una fuente de Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensión de Thévenin

Vth = 6·(500/620 − 1000/1500) = 0,8387 V

Resistencia de Thévenin

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 430,1 Ω

Corriente del galvanómetro

Ig = 0,8387/(430,1 + 50) = 1747 µA

Respuesta

Ig = 1747 µA
2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Respuesta: G = 3931

Galgas extensométricas: una galga cambia su resistencia con la deformación: ΔR/R = GF·ε, donde el factor de galga GF es de alrededor de 2 en las galgas de lámina metálica. En un puente con todos los brazos iguales a R, una galga activa (cuarto de puente) da Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dos galgas activas con deformaciones opuestas en brazos adyacentes (medio puente) dan Vs·GF·ε/2, y cuatro (puente completo) dan Vs·GF·ε. La tensión mecánica se obtiene de la ley de Hooke, σ = E·ε. Las células de carga indican su sensibilidad en mV/V: la salida a plena carga por cada voltio de excitación.

Salida del puente a fondo de escala

Vo = 0,636 mV

Ganancia

G = 2,5/0,000636 = 3931

Respuesta

G = 3931
3.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: fa = 2000 Hz

Muestreo: un ADC mide la señal fs veces por segundo. Según el teorema de Nyquist–Shannon, una frecuencia f se capta correctamente solo mientras f < fs/2, la frecuencia de Nyquist (de plegamiento), por lo que la frecuencia de muestreo debe superar el doble de la frecuencia más alta de la señal. Una frecuencia mayor no se pierde: aparece como un alias en fa = |f − k·fs|, con el número entero k que lleva el resultado entre 0 y fs/2. Las muestras no permiten distinguir ambas, así que un filtro antialiasing analógico debe eliminar todo lo que supera fs/2 antes del ADC.

Frecuencia de Nyquist

fs/2 = 2,5 kHz < f = 7 kHz

Múltiplo más cercano de la frecuencia de muestreo

k = round(7000/5000) = 1

Frecuencia de aliasing

fa = |7000 − 1·5000| = 2000 Hz

Respuesta

fa = 2000 Hz

La curva discontinua de la figura es el alias: pasa exactamente por las mismas muestras.

4.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: e = −1,357 %

UART: un enlace serie asíncrono envía cada byte como una trama: un bit de inicio (nivel bajo), los bits de datos, un bit de paridad opcional y uno o dos bits de parada (nivel alto). La tasa de baudios es el número de bits por segundo, así que un bit dura Tb = 1/baudios y una trama de n bits dura n/baudios. El formato habitual 8N1 tiene 10 bits por byte. El generador de baudios divide el reloj: baudios = fclk/(16·D) con un número entero D, así que la tasa de baudios real difiere ligeramente de la deseada; un error inferior a aproximadamente el 2 % suele ser aceptable.

Divisor

D = 20·10⁶/(16·115200) = 10,85 → 11

Tasa de baudios real

20·10⁶/(16·11) = 113636 Bd

Error

(113636 − 115200)/115200·100 = −1,357 %

Respuesta

e = −1,357 %

Un error inferior a aproximadamente el 2 % suele ser aceptable.

5.Circuitos con amplificador operacional

Respuesta: Vout = 0,705 V

Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.

Tensión en las entradas

R₃ y R₄ conducen la misma corriente, así que forman un divisor de tensión; la realimentación hace que V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0,4·4,7/(2 + 4,7) = 0,2806 V
V₋ = V₊

LCK en la entrada inversora

(0,1 − 0,2806)/2 = (0,2806 − Vout)/4,7
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (4,7/2)·(0,4 − 0,1) = 0,705 V

Respuesta

Vout = 0,705 V
6.Circuitos con amplificador operacional

Respuesta: Vout = −3,3 V

Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.

Ganancia de cada etapa

A1 = −Rf1/R1 = −10/2 = −5
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 10/100 = 1,1

Etapa a etapa

V1 = −5·0,6 = −3 V
Vout = 1,1·(−3) = −3,3 V

Respuesta

Vout = −3,3 V
7.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 16,83 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​10 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 12 + 10 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1,833 Ω
Req = R1 + 1,833 = 15 + 1,833 = 16,83 Ω

Respuesta

Req = 16,83 Ω
8.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 12,45 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 30 + 3 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 8,8 Ω
R3 + 8,8 = 13,8 Ω
R2 ∥ 13,8 = 9,452 Ω
Req = R1 + 9,452 = 3 + 9,452 = 12,45 Ω

Respuesta

Req = 12,45 Ω
9.Thévenin y Norton

Respuesta: Rth = 12,5 Ω

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 ΩCORTOR2​20 ΩAabRth​

Halla Rth con todas las fuentes apagadas

Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.

R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 5 = 12,5 Ω
10.Thévenin y Norton

Respuesta: PL = 91,88 W

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 30 ΩCORTOR2​12 ΩAABIERTOBabRth​

Halla Rth con todas las fuentes apagadas

Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.

R1 ∥ R2 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 30 = 36 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​12 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

Halla Vth, la tensión en circuito abierto

Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 3·6 = 25,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 25,5 + 3·30 = 115,5 V
Rth​ = 36 Ω+−Vth​115,5 VRL​30 ΩIL​

Conecta la carga al equivalente de Thévenin

La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.

IL = Vth/(Rth + RL) = 115,5/(36 + 30) = 1,75 A
PL = IL²·RL = 1,75²·30 = 91,88 W

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