Medida e instrumentación: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Tensiones de los divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Pérdidas
Vab = Va − Vb
Balance
R1/R2 = R3/R4
Puente de hilo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistencia de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Factor de galga
ΔR/R = GF·ε
Salida del puente
cuarto Vs·GF·ε/4, medio Vs·GF·ε/2, completo Vs·GF·ε
Cambio pequeño, un brazo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensión
σ = E·ε

Método

  1. Trata el puente como dos divisores de tensión sobre la misma alimentación.
  2. Para el equilibrio, iguala R₁/R₂ = R₃/R₄ y despeja la resistencia desconocida.
  3. Para un puente desequilibrado, halla Va y Vb con los divisores y resta; usa el equivalente de Thévenin cuando un medidor carga la salida.
  4. Para las galgas extensométricas, convierte la deformación en ΔR/R = GF·ε y usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 para un cuarto, medio o puente completo.

Adquisición de datos y muestreo

Criterio de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frecuencia de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamaño del paso
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Error de cuantización (redondeo)
±½ LSB
Código del ADC con truncamiento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para una resolución r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide a fondo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Tasa de datos
canales × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baudios; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baudios/bits por trama
Divisor de la tasa de baudios
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anota los datos: frecuencia de muestreo, frecuencias de la señal, número de bits, rango de entrada, tasa de baudios.
  2. En las preguntas de muestreo, compara cada frecuencia con fs/2; una frecuencia mayor aparece en fa = |f − k·fs|, con el múltiplo de fs más cercano.
  3. En las preguntas de resolución, halla 1 LSB = VFSR/2ᴺ, o el menor N con 2ᴺ ≥ rango/resolución.
  4. En las tasas de datos y los enlaces UART, cuenta todo lo que se envía: canales, muestras por segundo, bits o bytes completos por muestra, y los bits de inicio, paridad y parada de cada trama.

Circuitos con amplificador operacional

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador no inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador sumador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Thévenin y Norton

Tensión de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistencia de Thévenin
Rth: todas las fuentes apagadas, vista desde a–b
Corriente de Norton
IN = Vth/Rth
Corriente en la carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferencia de potencia
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Quita la carga y marca los dos terminales a y b.
  2. Halla la tensión en circuito abierto entre a y b: es Vth.
  3. Anula todas las fuentes independientes y halla la resistencia vista desde a–b: es Rth.
  4. Vuelve a conectar la carga al circuito equivalente: Vth en serie con Rth.
  5. Para el equivalente de Norton, convierte: IN = Vth/Rth, con RN = Rth en paralelo.

2Problemas de práctica

1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasMedia
+−5 VR1​ = 150 ΩR2​ = 800 ΩR3​ = 80 ΩR4​ = 300 ΩabGRg​ = 200 Ω

Se conecta un galvanómetro con una resistencia de 200 Ω entre a y b del puente mostrado (Vs = 5 V). Halla la corriente Ig del galvanómetro de a a b, en µA.

Vs = 5 VR1 = 150 ΩR2 = 800 ΩR3 = 80 ΩR4 = 300 ΩRg = 200 Ω
Ig = µA
2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasDifícil
+−3 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

Un puente con brazos de 120 Ω se excita con 3 V y tiene una galga activa (cuarto de puente). El factor de galga es 2 y la deformación es de 1200 µε. Halla la salida del puente Vo en mV.

Vs = 3 VGF = 2ε = 1200 µε
Vo = mV
3.Adquisición de datos y muestreoMedia
Vin​N = 10VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Halla la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR de un ADC de 10 bits para una onda senoidal a fondo de escala.

N = 10
SQNR = dB
4.Adquisición de datos y muestreoDifícil
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​38400 Bd, 8E1

Un ADC de 12 bits envía cada muestra por una UART a 38400 baudios, formato 8E1 (bit de inicio, 8 bits de datos, paridad par, 1 bit de parada). Cada muestra se envía como 2 byte(s) completo(s) y el enlace está ocupado todo el tiempo. Halla la frecuencia de señal más alta fmax que se puede muestrear sin aliasing, en Hz.

baud = 38400 BdN = 128E1
fmax = Hz
5.Circuitos con amplificador operacionalMedia
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 4,7 kΩVin​ = 0,5 VRa​ = 47 kΩRb​ = 100 kΩ

El amplificador operacional es ideal y se alimenta con ±15 V. Halla la tensión de salida Vout.

Vin = 0,5 VRa = 47 kΩRb = 100 kΩR1 = 4,7 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.Circuitos con amplificador operacionalDifícil
−+Vout​Rf​ = 100 kΩV1​ = −1,6 VR1​ = 22 kΩV2​ = −0,1 VR2​ = 10 kΩ

El amplificador sumador usa un amplificador operacional ideal alimentado con ±15 V. Halla la tensión de salida Vout.

V1 = −1,6 VV2 = −0,1 VR1 = 22 kΩR2 = 10 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
7.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Halla la corriente IR2 por R2.

V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
8.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 3 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​30 Ω

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 ΩR5 = 15 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
9.Thévenin y NortonMedia
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAab

Halla la resistencia de Thévenin Rth vista desde los terminales a–b.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin y NortonDifícil
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​5 ABRL​30 ΩIL​

Se conecta una carga RL = 30 Ω entre a–b. Sustituye el resto del circuito por su equivalente de Thévenin y halla la corriente de carga IL.

V1 = 36 VIs = 5 AR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩRL = 30 Ω
IL = A

3Disoluciones

1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Respuesta: Ig = 675,7 µA

Puente de Wheatstone: dos divisores de tensión comparten una alimentación Vs. El divisor izquierdo R1–R2 da Va = Vs·R2/(R1 + R2) y el divisor derecho R3–R4 da Vb = Vs·R4/(R3 + R4); la salida es Vab = Va − Vb. El puente está equilibrado (Vab = 0, sin corriente en el medidor) cuando R1/R2 = R3/R4, es decir, R1·R4 = R2·R3. Visto desde la salida, el puente es una fuente de Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensión de Thévenin

Vth = 5·(800/950 − 300/380) = 0,2632 V

Resistencia de Thévenin

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 189,5 Ω

Corriente del galvanómetro

Ig = 0,2632/(189,5 + 200) = 675,7 µA

Respuesta

Ig = 675,7 µA
2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Respuesta: Vo = 1,8 mV

Galgas extensométricas: una galga cambia su resistencia con la deformación: ΔR/R = GF·ε, donde el factor de galga GF es de alrededor de 2 en las galgas de lámina metálica. En un puente con todos los brazos iguales a R, una galga activa (cuarto de puente) da Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dos galgas activas con deformaciones opuestas en brazos adyacentes (medio puente) dan Vs·GF·ε/2, y cuatro (puente completo) dan Vs·GF·ε. La tensión mecánica se obtiene de la ley de Hooke, σ = E·ε. Las células de carga indican su sensibilidad en mV/V: la salida a plena carga por cada voltio de excitación.

Cambio relativo de resistencia

ΔR/R = 2·1200·10⁻⁶ = 0,0024

Salida del puente

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 3·0,0024/4 = 1,8 mV

Respuesta

Vo = 1,8 mV
3.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: SQNR = 61,96 dB

Resolución del ADC: un convertidor de N bits divide su rango de fondo de escala VFSR en 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Un paso es 1 LSB = VFSR/2ᴺ: el cambio más pequeño que puede mostrar el convertidor. Un ADC con truncamiento da el código ⌊Vin/LSB⌋; un ADC con redondeo nunca se aparta más de ½ LSB del valor real, que es su error de cuantización. Cada bit adicional reduce a la mitad el LSB y suma unos 6 dB a la relación señal/ruido de cuantización ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para una senoide a fondo de escala. Para alcanzar una resolución r en un rango, elige el menor N con 2ᴺ ≥ rango/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·10 + 1,76 = 61,96 dB

Respuesta

SQNR = 61,96 dB
4.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: fmax = 872,7 Hz

UART: un enlace serie asíncrono envía cada byte como una trama: un bit de inicio (nivel bajo), los bits de datos, un bit de paridad opcional y uno o dos bits de parada (nivel alto). La tasa de baudios es el número de bits por segundo, así que un bit dura Tb = 1/baudios y una trama de n bits dura n/baudios. El formato habitual 8N1 tiene 10 bits por byte. El generador de baudios divide el reloj: baudios = fclk/(16·D) con un número entero D, así que la tasa de baudios real difiere ligeramente de la deseada; un error inferior a aproximadamente el 2 % suele ser aceptable.

Bits por muestra en la línea

2·11 = 22 bit

Frecuencia de muestreo más alta

fs,max = 38400/22 = 1745 Hz

Límite de Nyquist

fmax = 1745/2 = 872,7 Hz

Respuesta

fmax = 872,7 Hz
5.Circuitos con amplificador operacional

Respuesta: Vout = 3,741 V

Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.

Tensión en la entrada +

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 0,5·100/(47 + 100) = 0,3401 V

Ganancia no inversora

V₋ = V₊, y la corriente por R₁ también circula por Rf.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 0,3401·(1 + 47/4,7) = 3,741 V

Respuesta

Vout = 3,741 V
6.Circuitos con amplificador operacional

Respuesta: Vout = 8,273 V

Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.

Corrientes de entrada

V₋ = 0, así que cada resistencia de entrada tiene toda su tensión de entrada.

I1 = V1/R1 = −1,6/22 = −0,07273 mA
I2 = V2/R2 = −0,1/10 = −0,01 mA
If = I1 + I2 = −0,08273 mA

Tensión de salida

Vout = −Rf·If = −100·(−0,08273) = 8,273 V

Respuesta

Vout = 8,273 V
7.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR2 = 0,4768 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAR4​20 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 12·32/(12+32) = 8,727 Ω
Req = R1 + 8,727 = 5 + 8,727 = 13,73 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 9/13,73 = 0,6556 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,6556·5 = 5,722 V
IR2 = VA/R2 = 5,722/12 = 0,4768 A

Respuesta

IR2 = 0,4768 A
8.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 5,229 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​30 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 15 + 30 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 3,673 Ω
R3 + 3,673 = 8,673 Ω
R2 ∥ 8,673 = 2,229 Ω
Req = R1 + 2,229 = 3 + 2,229 = 5,229 Ω

Respuesta

Req = 5,229 Ω
9.Thévenin y Norton

Respuesta: Rth = 6,727 Ω

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 ΩCORTOR2​6 ΩAabRth​

Halla Rth con todas las fuentes apagadas

Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.

R1 ∥ R2 = 5·6/(5+6) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 4 = 6,727 Ω
10.Thévenin y Norton

Respuesta: IL = 1,872 A

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 ΩCORTOR2​5 ΩAABIERTOBabRth​

Halla Rth con todas las fuentes apagadas

Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.

R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 10 = 12,73 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Halla Vth, la tensión en circuito abierto

Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16,36 + 5·2,727 = 30 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30 + 5·10 = 80 V
Rth​ = 12,73 Ω+−Vth​80 VRL​30 ΩIL​

Conecta la carga al equivalente de Thévenin

La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.

IL = Vth/(Rth + RL) = 80/(12,73 + 30) = 1,872 A

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