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1Fórmulas y métodos
Puente de Wheatstone y galgas extensométricas
Tensiones de los divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Pérdidas
Vab = Va − Vb
Balance
R1/R2 = R3/R4
Puente de hilo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistencia de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Factor de galga
ΔR/R = GF·ε
Salida del puente
cuarto Vs·GF·ε/4, medio Vs·GF·ε/2, completo Vs·GF·ε
Cambio pequeño, un brazo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensión
σ = E·ε
Método
Trata el puente como dos divisores de tensión sobre la misma alimentación.
Para el equilibrio, iguala R₁/R₂ = R₃/R₄ y despeja la resistencia desconocida.
Para un puente desequilibrado, halla Va y Vb con los divisores y resta; usa el equivalente de Thévenin cuando un medidor carga la salida.
Para las galgas extensométricas, convierte la deformación en ΔR/R = GF·ε y usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 para un cuarto, medio o puente completo.
Adquisición de datos y muestreo
Criterio de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frecuencia de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamaño del paso
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Error de cuantización (redondeo)
±½ LSB
Código del ADC con truncamiento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para una resolución r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide a fondo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Tasa de datos
canales × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baudios; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baudios/bits por trama
Divisor de la tasa de baudios
baud = fclk/(16·D)
Método
Anota los datos: frecuencia de muestreo, frecuencias de la señal, número de bits, rango de entrada, tasa de baudios.
En las preguntas de muestreo, compara cada frecuencia con fs/2; una frecuencia mayor aparece en fa = |f − k·fs|, con el múltiplo de fs más cercano.
En las preguntas de resolución, halla 1 LSB = VFSR/2ᴺ, o el menor N con 2ᴺ ≥ rango/resolución.
En las tasas de datos y los enlaces UART, cuenta todo lo que se envía: canales, muestras por segundo, bits o bytes completos por muestra, y los bits de inicio, paridad y parada de cada trama.
Circuitos con amplificador operacional
Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador no inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador sumador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0
Resistencias en serie y en paralelo
Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R
Método
Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.
Thévenin y Norton
Tensión de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistencia de Thévenin
Rth: todas las fuentes apagadas, vista desde a–b
Corriente de Norton
IN = Vth/Rth
Corriente en la carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferencia de potencia
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Método
Quita la carga y marca los dos terminales a y b.
Halla la tensión en circuito abierto entre a y b: es Vth.
Anula todas las fuentes independientes y halla la resistencia vista desde a–b: es Rth.
Vuelve a conectar la carga al circuito equivalente: Vth en serie con Rth.
Para el equivalente de Norton, convierte: IN = Vth/Rth, con RN = Rth en paralelo.
2Problemas de práctica
1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasMedia
Un puente tiene cuatro brazos de 250 Ω y Vs = 6 V. El sensor R₂ aumenta ΔR = 1 Ω. Con la aproximación de pequeño cambio, halla la salida Vab en mV.
Vs = 6 VR = 250 ΩΔR = 1 Ω
Vab = mV
2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasDifícil
Un cuarto de puente con una galga activa (GF = 2,1) se excita con 3 V. Bajo carga la salida marca 0,394 mV. Halla la deformación ε en µε.
Vs = 3 VGF = 2,1Vo = 0,394 mV
ε = µε
3.Adquisición de datos y muestreoMedia
Una onda senoidal de 3 kHz se muestrea a 4 kHz sin filtro antialiasing. ¿En qué frecuencia fa aparece en las muestras? Dala en Hz.
f = 3 kHzfs = 4 kHz
fa = Hz
4.Adquisición de datos y muestreoDifícil
Un ADC de 12 bits envía cada muestra por una UART a 19200 baudios, formato 8N1 (bit de inicio, 8 bits de datos, 1 bit de parada). Cada muestra se envía como 2 byte(s) completo(s) y el enlace está ocupado todo el tiempo. Halla la frecuencia de señal más alta fmax que se puede muestrear sin aliasing, en Hz.
baud = 19200 BdN = 128N1
fmax = Hz
5.Circuitos con amplificador operacionalMedia
El amplificador operacional es ideal y se alimenta con ±15 V. Halla la tensión de salida Vout.
Vin = −0,2 VR1 = 4,7 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.Circuitos con amplificador operacionalDifícil
El amplificador sumador usa un amplificador operacional ideal alimentado con ±15 V. Halla la tensión de salida Vout.
Halla la tensión de Thévenin Vth vista desde los terminales a–b.
V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
10.Thévenin y NortonDifícil
Halla la corriente de Norton IN: la corriente que circula de a a b si se cortocircuitan los terminales.
V1 = 18 VIs = 1,5 AR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
3Disoluciones
1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas
Respuesta: Vab = 6 mV
Puente de Wheatstone: dos divisores de tensión comparten una alimentación Vs. El divisor izquierdo R1–R2 da Va = Vs·R2/(R1 + R2) y el divisor derecho R3–R4 da Vb = Vs·R4/(R3 + R4); la salida es Vab = Va − Vb. El puente está equilibrado (Vab = 0, sin corriente en el medidor) cuando R1/R2 = R3/R4, es decir, R1·R4 = R2·R3. Visto desde la salida, el puente es una fuente de Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Cambio relativo
ΔR/R = 1/250 = 0,004
Salida linealizada
Vab ≈ 6·0,004/4 = 6 mV
Respuesta
Vab = 6 mV
El valor exacto es 5,988 mV; la aproximación es buena mientras ΔR/R sea pequeño.
2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas
Respuesta: ε = 250,2 µε
Galgas extensométricas: una galga cambia su resistencia con la deformación: ΔR/R = GF·ε, donde el factor de galga GF es de alrededor de 2 en las galgas de lámina metálica. En un puente con todos los brazos iguales a R, una galga activa (cuarto de puente) da Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dos galgas activas con deformaciones opuestas en brazos adyacentes (medio puente) dan Vs·GF·ε/2, y cuatro (puente completo) dan Vs·GF·ε. La tensión mecánica se obtiene de la ley de Hooke, σ = E·ε. Las células de carga indican su sensibilidad en mV/V: la salida a plena carga por cada voltio de excitación.
Despeja la ecuación del cuarto de puente
ε = 4·0,000394/(3·2,1) = 0,0002502
En microdeformaciones
ε = 250,2 µε
Respuesta
ε = 250,2 µε
3.Adquisición de datos y muestreo
Respuesta: fa = 1000 Hz
Muestreo: un ADC mide la señal fs veces por segundo. Según el teorema de Nyquist–Shannon, una frecuencia f se capta correctamente solo mientras f < fs/2, la frecuencia de Nyquist (de plegamiento), por lo que la frecuencia de muestreo debe superar el doble de la frecuencia más alta de la señal. Una frecuencia mayor no se pierde: aparece como un alias en fa = |f − k·fs|, con el número entero k que lleva el resultado entre 0 y fs/2. Las muestras no permiten distinguir ambas, así que un filtro antialiasing analógico debe eliminar todo lo que supera fs/2 antes del ADC.
Frecuencia de Nyquist
fs/2 = 2 kHz < f = 3 kHz
Múltiplo más cercano de la frecuencia de muestreo
k = round(3000/4000) = 1
Frecuencia de aliasing
fa = |3000 − 1·4000| = 1000 Hz
Respuesta
fa = 1000 Hz
La curva discontinua de la figura es el alias: pasa exactamente por las mismas muestras.
4.Adquisición de datos y muestreo
Respuesta: fmax = 480 Hz
UART: un enlace serie asíncrono envía cada byte como una trama: un bit de inicio (nivel bajo), los bits de datos, un bit de paridad opcional y uno o dos bits de parada (nivel alto). La tasa de baudios es el número de bits por segundo, así que un bit dura Tb = 1/baudios y una trama de n bits dura n/baudios. El formato habitual 8N1 tiene 10 bits por byte. El generador de baudios divide el reloj: baudios = fclk/(16·D) con un número entero D, así que la tasa de baudios real difiere ligeramente de la deseada; un error inferior a aproximadamente el 2 % suele ser aceptable.
Bits por muestra en la línea
2·10 = 20 bit
Frecuencia de muestreo más alta
fs,max = 19200/20 = 960 Hz
Límite de Nyquist
fmax = 960/2 = 480 Hz
Respuesta
fmax = 480 Hz
5.Circuitos con amplificador operacional
Respuesta: Vout = −2,2 V
Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.
La entrada inversora sigue a la entrada
V₋ = V₊ = −0,2 V
I = V₋/R1 = −0,2/4,7 = −0,04255 mA
Tensión de salida
La corriente de R₁ también pasa por Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = −0,2 + (−0,04255)·47 = −2,2 V
Respuesta
Vout = −2,2 V
6.Circuitos con amplificador operacional
Respuesta: Vout = 0,4364 V
Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.
Corrientes de entrada
V₋ = 0, así que cada resistencia de entrada tiene toda su tensión de entrada.
I1 = V1/R1 = −1,4/22 = −0,06364 mA
I2 = V2/R2 = 0,2/10 = 0,02 mA
If = I1 + I2 = −0,04364 mA
Tensión de salida
Vout = −Rf·If = −10·(−0,04364) = 0,4364 V
Respuesta
Vout = 0,4364 V
7.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: Req = 7,214 Ω
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 5·9/(5+9) = 3,214 Ω
Req = R1 + 3,214 = 4 + 3,214 = 7,214 Ω
Respuesta
Req = 7,214 Ω
8.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 1,504 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 5 + 15 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 2,609 Ω
R3 + 2,609 = 22,61 Ω
R2 ∥ 22,61 = 2,649 Ω
Req = R1 + 2,649 = 4 + 2,649 = 6,649 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 10/6,649 = 1,504 A
Respuesta
IR1 = 1,504 A
9.Thévenin y Norton
Respuesta: Vth = 6,667 V
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 2 = 8,667 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·15/(12+15) = 6,667 V
10.Thévenin y Norton
Respuesta: IN = 2,378 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 10·4/(10+4) = 2,857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,857 + 3 = 5,857 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5,143 + 1,5·2,857 = 9,429 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,429 + 1,5·3 = 13,93 V
Equivalente de Norton
Una fuente de Norton es el mismo circuito visto como una fuente de corriente en paralelo con R_th. Su corriente es la corriente de cortocircuito en a–b.