Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
P = ?12400 mm500 mmØ40Ø50δ = 0,3 mm

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de aluminio (diámetro 50 mm, longitud 500 mm, E = 70 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,3 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 40 mmLatón0,5 mØ 12 mmAluminio1 mP = 50 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.

P = 50 kNtramo 1: Ø40 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
d1​ = 40 mmd2​ = 25 mmT = 500 N·mABC2,5 m1,2 m

Un eje macizo escalonado de latón está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 40 mm y una longitud de 2,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 25 mm y una longitud de 1,2 m. En el extremo libre C actúa un par de 500 N·m. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.

T = 500 N·md1 = 40 mm, L1 = 2,5 md2 = 25 mm, L2 = 1,2 m
τmax = MPa
4.Torsión de ejesDifícil
Td = ?

Un eje macizo debe transmitir 10 kW a 500 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABC4,5 m1,5 m1,5 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 7,5 mP1 = 45 kN en 4,5 mP2 = 15 kN en 7,5 mapoyos en x = 0 y x = 6 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
w = 12 kN/mP = 15 kNABsección1 m1 m2 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 15 kN en 2 mw = 12 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
1704602414xcotas en mm

Una sección en I simétrica tiene alas de 170 mm de ancho y 24 mm de espesor, un canto total de 460 mm y un alma de 14 mm de espesor. Halla su módulo resistente elástico Sx para flexión respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 170 mmH = 460 mmtf = 24 mmtw = 14 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
2602016012xM = 30 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.

bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 160 mmM = 30 kN·m
σsuperior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 60σy​ = −70τxy​ = −60MPa

En un punto σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θs, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σx = 60 MPaσy = −70 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​τxy​superficie del eje

Un eje macizo de 30 mm de diámetro soporta una fuerza axial de tracción de 110 kN junto con un par de 400 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

d = 30 mmF = 110 kNT = 400 N·m
τmax = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 5 kN/mδL = 8 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 1,5 kN/mABδ3 m

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 75 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/250. Halla el canto mínimo hreq de la sección.

w = 1,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 75 mm
hreq = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 md = 25 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 70 kNL = 2 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 70 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 70 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 57,37 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3,638 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/5,229 × 10⁻⁶ = 57368 N = 57,37 kN

Respuesta

P = 57,37 kN
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σmax = 442,1 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 39,79 MPa
σ2 = 442,1 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σmax = 442,1 MPa

Respuesta

σmax = 442,1 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: τmax = 163 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Tensión en cada tramo

T = 500 N·m = 500000 N·mm
τAB = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa
τBC = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Respuesta

τmax = 163 MPa
4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 22,99 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

Respuesta

d = 22,99 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 33,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·4,5 + 15·7,5
RB = 315/6 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 52,5 = 7,5 kN

Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda

Mx = RA·4,5 = 7,5·4,5 = 33,75 kN·m

Respuesta

Mx = 33,75 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 25,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·2 + 12·4·2
RB = 126/4 = 31,5 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 31,5 = 31,5 kN
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​ = 31,5RB​ = 31,5sección1 m1 m2 m

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 31,5·1 − 12·1·0,5 = 25,5 kN·m

Respuesta

Mx = 25,5 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Sx = 2043 × 10³ mm³

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = Ic + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.

hw = 460 − 2·24 = 412 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·460³ − 156·412³)/12
Ix = 4,698 × 10⁸ mm⁴

Módulo resistente

c = H/2 = 230 mm
Sx = I/c = 4,698 × 10⁸/230
Sx = 2,043 × 10⁶ mm³ = 2043 × 10³ mm³

Respuesta

Sx = 2043 × 10³ mm³
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σsuperior = 65,79 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 160 + 20/2 = 170 mm
alma: Aw = 12·160 = 1920 mm², yw = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·170 + 1920·80)/7120 = 145,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·20³/12 + 5200·(170 − 145,7)² = 3,236 × 10⁶ mm⁴
alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 145,7)² = 1,239 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,236 × 10⁶ + 1,239 × 10⁷ = 1,563 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 180 − 145,7 = 34,27 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·34,27/1,563 × 10⁷ = 65,79 MPa

Respuesta

σsuperior = 65,79 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θs = −66,35 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θs = −60/88,46 = −0,6783, sin 2θs = −65/88,46 = −0,7348
2θs = atan2(−65, −60) = −132,7°

Ángulo en el elemento

θs = −66,35°
comprobación: θs − θp = −66,35 − (−21,35) = −45°

Respuesta

θs = −66,35°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 108,4 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Tensiones en la superficie

σ = F/A = 110000/(π·30²/4) = 110000/706,9 = 155,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa
στxyCτmax​

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 77,81 MPa
R = √(77,81² + 75,45²) = 108,4 MPa

Respuesta

τmax = 108,4 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 57,97 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 57,97 mm

Respuesta

δmax = 57,97 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: hreq = 124,2 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Momento de inercia necesario

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·3000⁴/(384·11000·12) = 1,199 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,199 × 10⁷/75)1/3 = 124,2 mm

Respuesta

hreq = 124,2 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 8,478 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1250² = 8478 N = 8,478 kN

Respuesta

Pcr = 8,478 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 38,37 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 38,37 mm

Respuesta

d = 38,37 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 104,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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