Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 25 mmCobre2,5 mP = 105 kN

Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 30 mmAluminio2 mØ 20 mmAcero2 mP = 30 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 30 kNtramo 1: Ø30 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 2 m, acero (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
do​ = 80, di​ = 60 mmT = 750 N·mL = 1 m

Un eje hueco de aluminio (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, longitud 1 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 750 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 750 N·mdo = 80 mmdi = 60 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
d = ?20 kW, 1450 rpm

Un eje macizo de latón transmite 20 kW a 1450 rpm. La tensión cortante no debe superar 75 MPa y la torsión no debe superar 1° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
8 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

55 kN @ 4 m8 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Cortante y momento flectorDifícil
5 kN/m25 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 0 m10 kN @ 6 m5 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
B = 240H = 250t = 12xcotas en mm

Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 240 mm, una altura exterior H = 250 mm y un espesor de pared uniforme t = 12 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

B = 240 mmH = 250 mmt = 12 mm
r = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
100180122801214xcotas en mm

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 100 × 12 mm, un alma de 280 mm de alto y 14 mm de espesor, y un ala inferior de 180 × 12 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia Ix respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 100 × 12 mmalma: 14 × 280 mmala inferior: 180 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 150σy​ = −60τxy​ = −60MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 150 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
60°D = 1200 mm, t = 12 mm, p = 2 MPap

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1200 mm y un espesor de pared de 12 mm, contiene gas a una presión manométrica de 2 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 60° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σn que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 2 MPaα = 60°
σn = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 20 kN/mP = 25 kNABδ2,5 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 25 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 4 kN/mδL = 6 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acero)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 5 m50 × 60 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 15 kNL = 2 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 15 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 15 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 4,571 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 213,9/117000 = 0,001828 = 1828 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,001828·2500 mm = 4,571 mm

Respuesta

δ = 4,571 mm
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,168 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 42,44 MPa
σ2 = 95,49 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ1 = σ1L1/E1 = 42,44·2000/70000 = 1,213 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 95,49·2000/200000 = 0,9549 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,168 mm

Respuesta

δ = 2,168 mm
3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 0,6012 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Ángulo de torsión

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(26000·2,749 × 10⁶) = 0,01049 rad
φ = 0,01049·180/π = 0,6012°

Respuesta

φ = 0,6012°
4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 37,47 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diámetro por resistencia

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm
dτ = ∛(16·131714/(π·75)) = 20,76 mm

Diámetro por rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·131714/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 37,47 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(20,76, 37,47) = 37,47 mm

Respuesta

d = 37,47 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 83,33 kN, R2 = 51,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 150,7, MC = 269,3 kN·m, MD = 246, ME = 190,7, MF = 103,3, MG = 0

Respuesta

Marca C: MC = 269,3 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 1 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 38,75 kN, R2 = 16,25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −25 kN·m, MC = −13,75, MD = −7,5, ME = −6,25, MF = −10, MG = 0

Respuesta

Marca B: MB = −25 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 96,77 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = Ic + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

b = 216 mm, h = 226 mm
A = BH − bh = 240·250 − 216·226 = 11184 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1,047 × 10⁸ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(1,047 × 10⁸/11184) = 96,77 mm

Respuesta

r = 96,77 mm
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 94,57 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 1200 mm², y = 298 mm
alma: A = 3920 mm², y = 152 mm
ala inferior: A = 2160 mm², y = 6 mm

Centroide

ȳ = (1200·298 + 3920·152 + 2160·6)/7280 = 132,7 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 100·12³/12 + 1200·165,3² = 3,278 × 10⁷ mm⁴
alma: 14·280³/12 + 3920·19,25² = 2,706 × 10⁷ mm⁴
ala inferior: 180·12³/12 + 2160·126,7² = 3,473 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,278 × 10⁷ + 2,706 × 10⁷ + 3,473 × 10⁷
Ix = 9,457 × 10⁷ mm⁴ = 94,57 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 94,57 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 120,9 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((150 − −60)/2)² + −60²) = 120,9 MPa

Respuesta

τmax = 120,9 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σn = 62,5 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Cilindro de pared delgada: tensión circunferencial σh = pr/t y tensión axial σa = pr/(2t); son las tensiones principales en la pared.

Tensiones en la pared

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 2·600/12 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σa) e y en dirección circunferencial (σh). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σn = 50·sin²60° + 100·cos²60° = 62,5 MPa

Respuesta

σn = 62,5 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 20,35 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 25000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(3EI) = 25000·2500³/(3·1,12 × 10¹³) = 11,63 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 8,719 mm

Súmalas

δ = 11,63 + 8,719 = 20,35 mm

Respuesta

δ = 20,35 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 20,25 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·200000·16,67) = 2,025 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 20,25 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 20,25 × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 69,09 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2500² = 69087 N = 69,09 kN

Respuesta

Pcr = 69,09 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 30,89 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 30,89 mm

Respuesta

d = 30,89 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 181,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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