Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 50 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de bronce (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 110 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 40 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de acero de 20 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 500 N·m en C, a 1,5 m de A y a 1 m de B. Halla el ángulo de giro φ_C de la sección C, en grados.

d = 20 mmT₀ = 500 N·ma = 1,5 mb = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 4 m de A. Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 30 kN en 4 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 4 mw = 10 kN/m de 0 a 3 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 52,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 40 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 40 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 10 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 2 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 70 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 70 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 15,92 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 50·1000/78,54 = 636,6 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 636,6/100000 = 0,006366 = 6366 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,006366·2500 mm = 15,92 mm

Respuesta

δ = 15,92 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 11,29 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 40000·345575/973894 = 14194 N

Tensión

σ₂ = 14194/1257 = 11,29 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 11,29 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,71 °

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·251327) = 0,02984 rad

φ = 0,02984·180/π = 1,71°

Respuesta

φ = 1,71°

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 13,68 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da T_A + T_B = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).

Equilibrio y compatibilidad

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1/2,5 = 200 N·m

T_B = 500·1,5/2,5 = 300 N·m

Giro de C

Usa el tramo AC: está empotrado en A y transmite T_A.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 200000·1500/(80000·15708) = 0,2387 rad = 13,68°

Respuesta

φ_C = 13,68°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = −136,3 kN·m

Quédate con la parte del extremo libre

P: −30·2,5 = −75 kN·m

w: −10·3,5²/2 = −61,25 kN·m

M_x = −75 − 61,25 = −136,3 kN·m

Respuesta

M_x = −136,3 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 17,58 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, aplicada en x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3·1,5

R_B = 45/4 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 11,25 = 18,75 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en R_A, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18,75/10 = 1,875 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 18,75·1,875 − 10·1,875²/2 = 17,58 kN·m

Respuesta

M_max = 17,58 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (15000·75 − 706,9·52,5)/(15000 − 706,9) = 76,11 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,113² = 28,14 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−23,61² = 0,4339 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 30,1 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

alma: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·292,5 + 5040·140)/12040 = 228,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·25³/12 + 7000·(292,5 − 228,7)² = 2,889 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·280³/12 + 5040·(140 − 228,7)² = 7,255 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,889 × 10⁷ + 7,255 × 10⁷ = 1,014 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 305 − 228,7 = 76,34 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·76,34/1,014 × 10⁸ = 30,1 MPa

Respuesta

σ_superior = 30,1 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = 47,86 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 10 − 20) = 95,71°

Ángulo en el elemento

θ_p = 47,86°

Respuesta

θ_p = 47,86°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 36,52 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 55 + 15·0,5 + −30·0,866 = 36,52 MPa

Respuesta

σ_θ = 36,52 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 10,17 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 10,17 mm

Respuesta

δ = 10,17 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 3,779 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 2000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·3000³/(48·5,88 × 10¹²) = 0,1913 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 3,587 mm

Súmalas

δ_max = 0,1913 + 3,587 = 3,779 mm

Respuesta

δ_max = 3,779 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 5,426 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5,426 kN

Respuesta

P_cr = 5,426 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 78,07 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,07 mm

Respuesta

d = 78,07 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 153,7, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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