Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de cobre (diámetro 30 mm, longitud 400 mm, E = 120 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,4 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 30 mm, longitud 400 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 80 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 1000 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,8 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 50 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 1,5 m de A, actúa un par de 500 N·m, y en el extremo libre C, 1,2 m más allá, actúa un par de 1500 N·m en el mismo sentido. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 5 kN/m de 0 a 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 60 kN en 1,5 mw = 12 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 50 MPa a tracción y 100 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo M_allow que puede soportar la viga.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 90 MPa, σᵧ = 0 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 100 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/250. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 63,42 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706,9) = 4,716 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/6,307 × 10⁻⁶ = 63419 N = 63,42 kN

Respuesta

P = 63,42 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 49,86 MPa

Rigideces

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 80000·123700/280780 = 35245 N

Tensión

σ₂ = 35245/706,9 = 49,86 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 49,86 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 52,39 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·60·0,5904)) = 52,39 mm

d_i = 0,8·52,39 = 41,91 mm

Respuesta

d_o = 52,39 mm

Un eje macizo necesitaría d = 43,95 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 81,49 MPa

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 500 = 2000 N·m

Tensión cortante máxima

El tramo con el mayor par interno tiene la mayor tensión (mismo diámetro).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·50³) = 81,49 MPa

Respuesta

τ_max = 81,49 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 60 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 25·4 − 5·4·2 = 60 kN·m

Respuesta

M_x = 60 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 94,5 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1,5 + 12·5·2,5

R_B = 240/5 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 48 = 72 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 72·1,5 − 12·1,5·0,75 = 94,5 kN·m

Respuesta

M_x = 94,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 15,4 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

alma: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·172,5 + 1920·80)/5920 = 142,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 160·25³/12 + 4000·(172,5 − 142,5)² = 3,808 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 142,5)² = 1,16 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,808 × 10⁶ + 1,16 × 10⁷ = 1,54 × 10⁷ mm⁴ = 15,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 15,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 17,24 kN·m

Centroide

ȳ = (7200·255 + 4320·120)/11520 = 204,4 mm

borde superior: c = 270 − 204,4 = 65,63 mm

Momento de inercia

I = 240·30³/12 + 7200·50,63² + 18·240³/12 + 4320·84,38² = 7,048 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 100·7,048 × 10⁷/65,63 = 107,4 kN·m

borde inferior: M = 50·7,048 × 10⁷/204,4 = 17,24 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 17,24 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 17,24 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 77,62 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−60 − 90)/2)² + −20²) = 77,62 MPa

Respuesta

τ_max = 77,62 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 66,62 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 45 + 45·0,766 + −20·0,6428 = 66,62 MPa

Respuesta

σ_θ = 66,62 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,03137 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 20·4000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,03137 rad

Respuesta

θ_A = 0,03137 rad

Eso son 1,798°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 178,4 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·16) = 4,735 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·4,735 × 10⁷/100)^1/3 = 178,4 mm

Respuesta

h_req = 178,4 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 128,5 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128,5 kN

Respuesta

P_cr = 128,5 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 126,3 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Respuesta

σ_cr = 126,3 MPa

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