Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de cobre (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 120 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 30 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de latón está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 60 mm y una longitud de 0,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 20 mm y una longitud de 0,8 m. En el extremo libre C actúa un par de 100 N·m. Halla el ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 30 kW a 1500 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,8 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 4 kN/m de 0 a 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mP = 60 kN en 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 180 mm de ancho y 12 mm de espesor, un canto total de 280 mm y un alma de 10 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 180 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 160 × 10 mm, un alma de 210 mm de alto y 16 mm de espesor, y un ala inferior de 240 × 16 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 160 × 10 mmalma: 16 × 210 mmala inferior: 240 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 90 MPa y σᵧ = 60 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 145 MPa?

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 145 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −80 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido horario respecto al eje x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1,5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 4 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 150 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 150 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 13,39 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/117000 = 0,004463 = 4463 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,004463·3000 mm = 13,39 mm

Respuesta

δ = 13,39 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 14,46 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 30000·376991/622428 = 18170 N

Tensión

σ₂ = 18170/1257 = 14,46 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 14,46 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 7,54 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,001008 rad

φ_BC = 100000·800/(39000·15708) = 0,1306 rad

Torsión total

φ_C = 0,001008 + 0,1306 = 0,1316 rad = 7,54°

Respuesta

φ_C = 7,54°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 30,17 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·60·0,5904)) = 30,17 mm

d_i = 0,8·30,17 = 24,14 mm

Respuesta

d_o = 30,17 mm

Un eje macizo necesitaría d = 25,31 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 50 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Corta en x = 5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 20·5 − 4·5·2,5 = 50 kN·m

Respuesta

M_x = 50 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 94,5 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1,5 + 8·6·3

R_B = 234/6 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 39 = 69 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 69·1,5 − 8·1,5·0,75 = 94,5 kN·m

Respuesta

M_x = 94,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 91,6 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·280³ − 170·256³)/12

I_x = 9,16 × 10⁷ mm⁴ = 91,6 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 91,6 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 73,28 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 1600 mm², y = 231 mm

alma: A = 3360 mm², y = 121 mm

ala inferior: A = 3840 mm², y = 8 mm

Centroide

ȳ = (1600·231 + 3360·121 + 3840·8)/8800 = 91,69 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 160·10³/12 + 1600·139,3² = 3,106 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·210³/12 + 3360·29,31² = 1,523 × 10⁷ mm⁴

ala inferior: 240·16³/12 + 3840·83,69² = 2,698 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,106 × 10⁷ + 1,523 × 10⁷ + 2,698 × 10⁷

I_x = 7,328 × 10⁷ mm⁴ = 73,28 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 73,28 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 68,37 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (90 + 60)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 145 − 75 = 70 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 15²) = 68,37 MPa

Respuesta

τ_xy = 68,37 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = −27,4 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = −20 + −60·0,766 + −60·−0,6428 = −27,4 MPa

Respuesta

σ_θ = −27,4 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 2,757 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·1500²·2500²/(3·1,7 × 10¹²·4000) = 2,757 mm

Respuesta

δ_P = 2,757 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 18,08 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·3000⁴/(384·70000·8,333) = 1,808 × 10⁷ mm⁴

I_req = 18,08 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 18,08 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 32,9 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2000² = 32899 N = 32,9 kN

Respuesta

P_cr = 32,9 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 51,37 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 51,37 mm

Respuesta

d = 51,37 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 116,8, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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