Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 50 kNtramo 1: Ø40 mm, 2 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 750 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 75 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 4 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 12 m30 kN @ 6 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 120 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 60 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 60 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 150 mmrecorte: 60 × 30 mmcentro del agujero: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un eje macizo de 30 mm de diámetro soporta una fuerza axial de tracción de 180 kN junto con un par de 200 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión principal mayor σ₁.

d = 30 mmF = 180 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 90 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 90 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 10610 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1061/100000 = 0,01061 = 10610 µε

Respuesta

ε = 10610 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,039 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·2000/100000 = 0,7958 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·500/100000 = 1,243 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,039 mm

Respuesta

δ = 2,039 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 47,87 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·40·0,8704)) = 47,87 mm

d_i = 0,6·47,87 = 28,72 mm

Respuesta

d_o = 47,87 mm

Un eje macizo necesitaría d = 45,71 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 36,92 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·493929/(π·50)) = 36,92 mm

Respuesta

d = 36,92 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 50 kN, R₂ = 20 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 100, M_C = 160 kN·m, M_D = 120, M_E = 80, M_F = 40, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 160 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 27 kN, R₂ = 68 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 46, M_C = 76, M_D = 90 kN·m, M_E = 28, M_F = −50, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 90 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 12,58 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

alma: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·165 + 1920·80)/4920 = 131,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 300·10³/12 + 3000·(165 − 131,8)² = 3,326 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 131,8)² = 9,254 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,326 × 10⁶ + 9,254 × 10⁶ = 1,258 × 10⁷ mm⁴ = 12,58 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 12,58 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 33,16 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 1800·60)/(18000 − 1800) = 76,67 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,667² = 33,8 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

60·30³/12 + 1800·−16,67² = 0,635 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 33,16 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 33,16 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 60,21 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−60 − 30)/2)² + 40²) = 60,21 MPa

Respuesta

τ_max = 60,21 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ₁ = 260,1 MPa

Tensiones en la superficie

σ = F/A = 180000/(π·30²/4) = 180000/706,9 = 254,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 127,3 MPa

R = √(127,3² + 37,73²) = 132,8 MPa

σ₁ = C + R = 260,1 MPa

σ₂ = C − R = −5,471 MPa

Respuesta

σ₁ = 260,1 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 2 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 2 mm

Respuesta

δ = 2 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·6000⁴/(384·11000·16,67) = 7,364 × 10⁸ mm⁴

I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 736,4 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 13,82 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/3000² = 13817 N = 13,82 kN

Respuesta

P_cr = 13,82 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 67,61 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 67,61 mm

Respuesta

d = 67,61 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 177,5, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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