Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de aluminio bajo la carga axial.

P = 115 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 85 kNtramo 1: Ø25 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 12 mm de diámetro se tuerce con un par de 20 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 300 mm giran 2,11° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 2,11°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón transmite 10 kW a 500 rpm. La tensión cortante no debe superar 75 MPa y la torsión no debe superar 1° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mw = 3 kN/m de 0 a 5 mx = 4 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo M_max entre los apoyos.

L = 7,5 mw = 4 kN/m de 0 a 7,5 mapoyos en x = 0 y x = 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 210 mm de ancho y 22 mm de espesor, un canto total de 420 mm y un alma de 12 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 210 mmH = 420 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 150 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 80 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 97,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 150 mmrecorte: 80 × 30 mmcentro del agujero: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −30 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 40° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acero)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 125 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 125 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 20,92 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1464/70000 = 0,02092 = 20918 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,02092·1000 mm = 20,92 mm

Respuesta

δ = 20,92 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 5,058 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·500/200000 = 0,4329 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·2000/117000 = 4,625 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,058 mm

Respuesta

δ = 5,058 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 80,03 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 2,11·π/180 = 0,03683 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0,03683) = 80033 MPa

G = 80,03 GPa

Respuesta

G = 80,03 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 41,12 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diámetro por resistencia

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Diámetro por rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 41,12 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(23,49, 41,12) = 41,12 mm

Respuesta

d = 41,12 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = −4,5 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 7,5 − 3·4 = −4,5 kN

Respuesta

V_x = −4,5 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 15,82 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·7,5 = 30 kN, aplicada en x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·7,5·3,75

R_B = 112,5/6 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,25/4 = 2,813 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,25²/(2·4) = 15,82 kN·m

Respuesta

M_max = 15,82 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 419,4 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 420 − 2·22 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·420³ − 198·376³)/12

I_x = 4,194 × 10⁸ mm⁴ = 419,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 419,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 40,65 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 2400·97,5)/(22500 − 2400) = 72,31 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·150³/12 + 22500·2,687² = 42,35 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

80·30³/12 + 2400·25,19² = 1,702 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 40,65 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 40,65 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −18,43 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = 20/25 = 0,8, sin 2θ_s = −15/25 = −0,6

2θ_s = atan2(−15, 20) = −36,87°

Ángulo en el elemento

θ_s = −18,43°

comprobación: θ_s − θ_p = −18,43 − 26,57 = −45°

Respuesta

θ_s = −18,43°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 24,91 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−20·0,9848 + 30·0,1736 = 24,91 MPa

Respuesta

τ_θ = 24,91 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 4,844 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 4,844 mm

Respuesta

δ_max = 4,844 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 280,6 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·16,67) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·2,301 × 10⁸/125)^1/3 = 280,6 mm

Respuesta

h_req = 280,6 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 143,9 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2000² = 143932 N = 143,9 kN

Respuesta

P_cr = 143,9 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 35,25 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Respuesta

σ_cr = 35,25 MPa

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