Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 50 mm, longitud 300 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,4 mm en total.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 110 kNtramo 1: Ø35 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 2 m, acero (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de latón está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 50 mm y una longitud de 0,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 40 mm y una longitud de 0,5 m. En el extremo libre C actúa un par de 2000 N·m. Halla el ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

T = 2000 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 100 kW a 1500 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 12 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 120 mm × 200 mm tiene un recorte rectangular de 60 mm de ancho y 50 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 80 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 200 mmrecorte: 60 × 50 mmcentro del agujero: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −60 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 15° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acero)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 94,82 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1,389 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/4,218 × 10⁻⁶ = 94822 N = 94,82 kN

Respuesta

P = 94,82 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 12,99 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·2000/70000 = 3,267 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 972,6·2000/200000 = 9,726 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 12,99 mm

Respuesta

δ = 12,99 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 8,24 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·500/(39000·613592) = 0,04179 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·500/(39000·251327) = 0,102 rad

Torsión total

φ_C = 0,04179 + 0,102 = 0,1438 rad = 8,24°

Respuesta

φ_C = 8,24°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 10,24 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Momento polar de inercia

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·37,5/2,332 × 10⁶ = 10,24 MPa

Respuesta

τ_max = 10,24 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 57,33 kN, R₂ = 40,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 98,67 kN·m, M_D = 86, M_E = 65,33, M_F = 36,67, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 98,67 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 31 kN, R₂ = 39 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 62 kN·m, M_C = 34, M_D = 6, M_E = −22, M_F = −50, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = 62 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 37,41 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

alma: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·227,5 + 4400·110)/6500 = 148 mm

Teorema de Steiner

ala: 140·15³/12 + 2100·(227,5 − 148)² = 1,332 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·220³/12 + 4400·(110 − 148)² = 2,409 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,332 × 10⁷ + 2,409 × 10⁷ = 3,741 × 10⁷ mm⁴ = 37,41 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 37,41 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·100 − 3000·80)/(24000 − 3000) = 102,9 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,857² = 80,2 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

60·50³/12 + 3000·−22,86² = 2,192 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 78 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −45 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −60 − −60) = −90°

Ángulo en el elemento

θ_p = −45°

Respuesta

θ_p = −45°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 0,6699 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 25 + −5·0,866 + −40·0,5 = 0,6699 MPa

Respuesta

σ_θ = 0,6699 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,076 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,076 mm

Respuesta

δ_max = 1,076 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 35,16 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·5000⁴/(384·200000·13,89) = 3,516 × 10⁷ mm⁴

I_req = 35,16 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 35,16 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 8,996 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8,996 kN

Respuesta

P_cr = 8,996 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 62,66 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Respuesta

σ_cr = 62,66 MPa

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