Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 110 kNtramo 1: Ø25 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 100 N·md = 20 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 30 kW a 1500 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 4,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mw = 5 kN/m de 0 a 5 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 30 kN en 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 150 mm × 200 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 80 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 100 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 60 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 168 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 240 mmrecorte: 60 × 40 mmcentro del agujero: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 80 MPa y σᵧ = 0 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 115 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Halla la tensión equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 140 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 2 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 17 kNa = 2 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acero)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 65 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,139 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 213,9/200000 = 0,00107 = 1070 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,00107·2000 mm = 2,139 mm

Respuesta

δ = 2,139 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 972,6 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 972,6 MPa

Respuesta

σ_max = 972,6 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 13,68 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·15708) = 0,2387 rad

φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Respuesta

φ = 13,68°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 3,218 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Momento polar de inercia

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·40/2,374 × 10⁶ = 3,218 MPa

Respuesta

τ_max = 3,218 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = −10 kN

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Corta en x = 4,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 12,5 − 5·4,5 = −10 kN

Respuesta

V_x = −10 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 37 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1,5 + 8·5·2,5

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 29 = 41 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 41·1 − 8·1·0,5 = 37 kN·m

Respuesta

M_x = 37 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·100 − 706,9·80)/(30000 − 706,9) = 100,5 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,4826² = 100 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−20,48² = 0,3363 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 108,7 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (24000·120 − 2400·168)/(24000 − 2400) = 114,7 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·240³/12 + 24000·5,333² = 115,9 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

60·40³/12 + 2400·53,33² = 7,147 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 108,7 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 108,7 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 63,44 MPa

Radio necesario

C = (80 + 0)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 40 = 75 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 40²) = 63,44 MPa

Respuesta

τ_xy = 63,44 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_vM = 204,5 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 35 MPa, R = 116,3 MPa

σ₁ = 151,3 MPa, σ₂ = −81,3 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(151,3² − 151,3·(−81,3) + (−81,3)²) = 204,5 MPa

Respuesta

σ_vM = 204,5 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 44,97 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 17000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 17,99 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01349 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 44,97 mm

Respuesta

δ_B = 44,97 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,758 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 17,58 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 266,5 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1000² = 266479 N = 266,5 kN

Respuesta

P_cr = 266,5 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 57,3 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 57,3 mm

Respuesta

d = 57,3 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 104,7, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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