Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 40 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 100 kNtramo 1: Ø30 mm, 1,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 20 kW a 500 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 20 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mw = 2 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 6 m45 kN @ 3 m5 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 40 MPa a tracción y 100 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo M_allow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 30° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un eje macizo de 40 mm de diámetro soporta un momento flector de 300 N·m junto con un par de 1500 N·m. En la superficie superior, donde la tensión de flexión es de tracción y máxima, halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

d = 40 mmM = 300 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 3 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 12 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (acero)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 35 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 35 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,487 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/200000 = 0,0009947 = 994,7 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,0009947·2500 mm = 2,487 mm

Respuesta

δ = 2,487 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 6,543 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 141,5·1500/100000 = 2,122 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 884,2·500/100000 = 4,421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,543 mm

Respuesta

δ = 6,543 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 22,45 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·15708) = 0,3918 rad

φ = 0,3918·180/π = 22,45°

Respuesta

φ = 22,45°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 30,25 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 382 N·m = 381972 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·75·0,9375)) = 30,25 mm

d_i = 0,5·30,25 = 15,12 mm

Respuesta

d_o = 30,25 mm

Un eje macizo necesitaría d = 29,6 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = 2 kN

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 5 − 2·1,5 = 2 kN

Respuesta

V_x = 2 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 13,75 kN, R₂ = 66,25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 11,25, M_C = 17,5, M_D = 18,75, M_E = −30 kN·m, M_F = −15, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −30 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 49,39 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

alma: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·232,5 + 3960·110)/8960 = 178,4 mm

Teorema de Steiner

ala: 200·25³/12 + 5000·(232,5 − 178,4)² = 1,492 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·220³/12 + 3960·(110 − 178,4)² = 3,448 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,492 × 10⁷ + 3,448 × 10⁷ = 4,939 × 10⁷ mm⁴ = 49,39 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 49,39 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 5,26 kN·m

Centroide

ȳ = (2400·147,5 + 1120·70)/3520 = 122,8 mm

borde superior: c = 155 − 122,8 = 32,16 mm

Momento de inercia

I = 160·15³/12 + 2400·24,66² + 8·140³/12 + 1120·52,84² = 6,461 × 10⁶ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento negativo: la parte superior está traccionada y la inferior comprimida.

borde superior: M = 40·6,461 × 10⁶/32,16 = 8,036 kN·m

borde inferior: M = 100·6,461 × 10⁶/122,8 = 5,26 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 5,26 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 5,26 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 8,481 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = −25 − (−15)·0,5 − (−30)·0,866 = 8,481 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = −58,48 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −50 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 8,481 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 121,7 MPa

Tensiones en la superficie

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47,75 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 23,87 MPa

R = √(23,87² + 119,4²) = 121,7 MPa

Respuesta

τ_max = 121,7 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 18,95 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 12000 N, a = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,474 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,004737 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 18,95 mm

Respuesta

δ_B = 18,95 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 545,5 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·4000⁴/(384·11000·11,11) = 5,455 × 10⁸ mm⁴

I_req = 545,5 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 545,5 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 161,1 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/700² = 161136 N = 161,1 kN

Respuesta

P_cr = 161,1 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 34,47 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 34,47 mm

Respuesta

d = 34,47 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 145,1, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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