Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de aluminio, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 25 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 150 MPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 100 kW a 500 rpm sin que la tensión cortante supere 75 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 2 kN/m de 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 15 kN en 1 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 5 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un eje macizo de 30 mm de diámetro soporta una fuerza axial de tracción de 80 kN junto con un par de 200 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión principal mayor σ₁.

d = 30 mmF = 80 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 150 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 150 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 1263 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/70000 = 0,001263 = 1263 µε

Respuesta

ε = 1263 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 562,5 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·8482 = 1,031 × 10⁹ N

Deformación determinante

ε = min(0,00075, 0,0005455) = 0,0005455 (bronce)

Mayor carga

P_max = 0,0005455·1,031 × 10⁹ = 562488 N = 562,5 kN

Respuesta

P_max = 562,5 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 19,73 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·251327) = 0,3443 rad

φ = 0,3443·180/π = 19,73°

Respuesta

φ = 19,73°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 50,62 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·75)) = 50,62 mm

Respuesta

d = 50,62 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 3,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 4·1,5 − 2·1,5·0,75 = 3,75 kN·m

Respuesta

M_x = 3,75 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 83,25 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 12·8·4

R_B = 399/8 = 49,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 111 − 49,88 = 61,13 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 61,13·2 − 15·(2 − 1) − 12·2·1 = 83,25 kN·m

Respuesta

M_x = 83,25 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 22,27 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

alma: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·205 + 2400·100)/5200 = 156,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·10³/12 + 2800·(205 − 156,5)² = 6,599 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·200³/12 + 2400·(100 − 156,5)² = 1,567 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,599 × 10⁶ + 1,567 × 10⁷ = 2,227 × 10⁷ mm⁴ = 22,27 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 22,27 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 106,2 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

alma: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·110 + 1200·50)/6000 = 98 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·20³/12 + 4800·(110 − 98)² = 851200 mm⁴

alma: 12·100³/12 + 1200·(50 − 98)² = 3,765 × 10⁶ mm⁴

I_x = 851200 + 3,765 × 10⁶ = 4,616 × 10⁶ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 98 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·98/4,616 × 10⁶ = 106,2 MPa

Respuesta

σ_inferior = 106,2 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −54,22 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −10/31,62 = −0,3162, sin 2θ_s = −30/31,62 = −0,9487

2θ_s = atan2(−30, −10) = −108,4°

Ángulo en el elemento

θ_s = −54,22°

comprobación: θ_s − θ_p = −54,22 − (−9,217) = −45°

Respuesta

θ_s = −54,22°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ₁ = 124,6 MPa

Tensiones en la superficie

σ = F/A = 80000/(π·30²/4) = 80000/706,9 = 113,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 56,59 MPa

R = √(56,59² + 37,73²) = 68,01 MPa

σ₁ = C + R = 124,6 MPa

σ₂ = C − R = −11,42 MPa

Respuesta

σ₁ = 124,6 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 3,424 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 3,424 mm

Respuesta

δ = 3,424 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 210,4 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,165 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·1,165 × 10⁸/150)^1/3 = 210,4 mm

Respuesta

h_req = 210,4 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 78,68 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/1400² = 78680 N = 78,68 kN

Respuesta

P_cr = 78,68 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 8,812 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Respuesta

σ_cr = 8,812 MPa

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