Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de aluminio bajo la carga axial.

P = 65 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 40 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco de latón (diámetro exterior 75 mm, diámetro interior 45 mm, longitud 2 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 1500 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 1500 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de aluminio transmite 15 kW a 500 rpm. La tensión cortante no debe superar 75 MPa y la torsión no debe superar 0,25° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 4 mP = 80 kN en 2 mw = 5 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 200 mm × 200 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 140 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmcentro del agujero: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 5 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −10 MPa, σᵧ = 110 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1200 mm y un espesor de pared de 12 mm, contiene gas a una presión manométrica de 1,5 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 25° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σ_n que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 4 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales iguales P en sus tercios de la luz (a L/3 de cada apoyo). Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 5 kNL = 8 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,284 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/70000 = 0,001314 = 1314 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,001314·2500 mm = 3,284 mm

Respuesta

δ = 3,284 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 8,252 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 40000·293215/1,131 × 10⁶ = 10370 N

Tensión

σ₂ = 10370/1257 = 8,252 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 8,252 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,63 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Ángulo de torsión

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·2000/(39000·2,704 × 10⁶) = 0,02845 rad

φ = 0,02845·180/π = 1,63°

Respuesta

φ = 1,63°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 71,22 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diámetro por resistencia

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·75)) = 26,89 mm

Diámetro por rigidez

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 71,22 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(26,89, 71,22) = 71,22 mm

Respuesta

d = 71,22 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 25 kN, R₂ = 25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 90, M_D = 110 kN·m, M_E = 90, M_F = 50, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 110 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 90 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·2 + 5·4·2

R_B = 200/4 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

¿Dónde es V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 40 kN

V(2⁺) = 40 − 80 = −40 kN

El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 50·2 − 5·2²/2 = 90 kN·m

Respuesta

M_max = 90 kN·m

Se produce en x = 2 m desde A.

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (40000·100 − 1257·140)/(40000 − 1257) = 98,7 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·200³/12 + 40000·1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 53,92 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

alma: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·172,5 + 1600·80)/6100 = 148,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 180·25³/12 + 4500·(172,5 − 148,2)² = 2,883 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·160³/12 + 1600·(80 − 148,2)² = 1,086 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,883 × 10⁶ + 1,086 × 10⁷ = 1,375 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 148,2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·148,2/1,375 × 10⁷ = 53,92 MPa

Respuesta

σ_inferior = 53,92 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 84,85 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 110)/2)² + 60²) = 84,85 MPa

Respuesta

τ_max = 84,85 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_n = 68,3 MPa

Tensiones en la pared

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,5·600/12 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σ_n = 37,5·sin²25° + 75·cos²25° = 68,3 MPa

Respuesta

σ_n = 68,3 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 21,96 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·1000²·5000²/(3·2,53 × 10¹¹·6000) = 21,96 mm

Respuesta

δ_P = 21,96 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 68,84 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 5000 N, L = 8000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Una carga en L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 34,42 mm

Suma ambas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 68,84 mm

Respuesta

δ_max = 68,84 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 28,79 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1250² = 28786 N = 28,79 kN

Respuesta

P_cr = 28,79 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 34,27 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Respuesta

σ_cr = 34,27 MPa

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