Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 25 mmCobre3 mP = 30 kN

Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.

P = 30 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 30 mmLatón1,5 mØ 12 mmAluminio2 mP = 25 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 25 kNtramo 1: Ø30 mm, 1,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Tdo​ = 80 mm, di​ = 60 mm

Un eje hueco transmite 100 kW a 1450 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.

P = 100 kWN = 1450 rpmdo = 80 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
M0​ = 35 kN·mAB1,5 m3,5 m

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 35 kN·m en x = 1,5 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mM0 = 35 kN·m en sentido horario, en 1,5 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
w = 10 kN/mAB1 m2 m2 m

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.

L = 5 mw = 10 kN/m de 1 a 3 m
Mmax = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
2801028012xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
2201024014xM = 50 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 50 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.

bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 240 mmM = 50 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 100σy​ = −20τxy​ = −30MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 100 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = −80σy​ = 50τxy​ = −30MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −80 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = 50 MPaτxy = −30 MPaθ = 20°
τθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 20 kN/mABθ2,5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θA de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 15 kN/mδL = 1,5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 3 md = 50 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 65 kNL = 6 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 65 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 65 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 1,567 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/117000 = 0,0005224 = 522,4 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,0005224·3000 mm = 1,567 mm

Respuesta

δ = 1,567 mm
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 6,846 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 35,37 MPa
σ2 = 221 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ1 = σ1L1/E1 = 35,37·1500/100000 = 0,5305 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 221·2000/70000 = 6,316 mm
δ = δ1 + δ2 = 6,846 mm

Respuesta

δ = 6,846 mm
3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 5,699 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·251327) = 0,09947 rad
φ = 0,09947·180/π = 5,699°

Respuesta

φ = 5,699°
4.Torsión de ejes

Respuesta: τmax = 9,583 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Momento polar de inercia

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τmax = T·(do/2)/J = 658572·40/2,749 × 10⁶ = 9,583 MPa

Respuesta

τmax = 9,583 MPa
5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = −10,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/5 = 7 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −7 kN (hacia abajo)

Corte justo a la izquierda del par

La parte izquierda solo contiene RA.

Mx = RA·a = −7·1,5 = −10,5 kN·m

Respuesta

Mx = −10,5 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: Mmax = 19,2 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2·2
RB = 40/5 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 8 = 12 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en RA, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 12/10 = 2,2 m

Momento máximo

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 12·2,2 − 10·1,2²/2 = 19,2 kN·m

Respuesta

Mmax = 19,2 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 54,09 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
alma: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·285 + 3360·140)/6160 = 205,9 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·10³/12 + 2800·(285 − 205,9)² = 1,754 × 10⁷ mm⁴
alma: 12·280³/12 + 3360·(140 − 205,9)² = 3,655 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,754 × 10⁷ + 3,655 × 10⁷ = 5,409 × 10⁷ mm⁴ = 54,09 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 54,09 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σinferior = 229,5 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
alma: Aw = 14·240 = 3360 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·245 + 3360·120)/5560 = 169,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·10³/12 + 2200·(245 − 169,5)² = 1,257 × 10⁷ mm⁴
alma: 14·240³/12 + 3360·(120 − 169,5)² = 2,435 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,257 × 10⁷ + 2,435 × 10⁷ = 3,692 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 169,5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·169,5/3,692 × 10⁷ = 229,5 MPa

Respuesta

σinferior = 229,5 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 67,08 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((100 − −20)/2)² + −30²) = 67,08 MPa

Respuesta

τmax = 67,08 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τθ = 18,8 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación

τθ = −−65·0,6428 + −30·0,766 = 18,8 MPa

Respuesta

τθ = 18,8 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: θA = 0,02188 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Giro en el extremo

θA = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,02188 rad

Respuesta

θA = 0,02188 rad

Eso son 1,254°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,157 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 21,57 × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 137,3 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137,3 kN

Respuesta

Pcr = 137,3 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 114,6 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 114,6 mm

Respuesta

d = 114,6 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 209,4, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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