Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 50 mm, longitud 200 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,3 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 160 MPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 50 mm, E = 110 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 30 kW a 1000 rpm sin que la tensión cortante supere 60 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

55 kN @ 3 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 5 mP = 30 kN en 4 mw = 8 kN/m de 0 a 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 280 mm de ancho con dos alas verticales de 180 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 8 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.

b = 280 mmh = 180 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 170 × 16 mm, un alma de 400 mm de alto y 8 mm de espesor, y un ala inferior de 220 × 12 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 170 × 16 mmalma: 8 × 400 mmala inferior: 220 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 80 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 50° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 5 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 114,9 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1,019 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/2,61 × 10⁻⁶ = 114936 N = 114,9 kN

Respuesta

P = 114,9 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 697,9 kN

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Deformación determinante

ε = min(0,0008, 0,0005455) = 0,0005455 (bronce)

Mayor carga

P_max = 0,0005455·1,279 × 10⁹ = 697862 N = 697,9 kN

Respuesta

P_max = 697,9 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 16,81 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·38350) = 0,2934 rad

φ = 0,2934·180/π = 16,81°

Respuesta

φ = 16,81°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 28,97 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Respuesta

d = 28,97 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 30,83 kN, R₂ = 34,17 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 30,83, M_C = 61,67, M_D = 92,5 kN·m, M_E = 68,33, M_F = 34,17, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 92,5 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 42,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·4 + 8·5·2,5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44 = 26 kN

¿Dónde es V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 26/8 = 3,25 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 26·3,25 − 8·3,25²/2 = 42,25 kN·m

Respuesta

M_max = 42,25 kN·m

Se produce en x = 3,25 m desde A.

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: ȳ = 53,62 mm

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 280·8 = 2240 mm², y₁ = 4 mm

dos alas: A₂ = 2·8·172 = 2752 mm², y₂ = 8 + 172/2 = 94 mm

Centroide

ȳ = (2240·4 + 2752·94)/4992 = 53,62 mm

Respuesta

ȳ = 53,62 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 272,4 × 10⁶ mm⁴

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2720 mm², y = 420 mm

alma: A = 3200 mm², y = 212 mm

ala inferior: A = 2640 mm², y = 6 mm

Centroide

ȳ = (2720·420 + 3200·212 + 2640·6)/8560 = 214,6 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 170·16³/12 + 2720·205,4² = 1,149 × 10⁸ mm⁴

alma: 8·400³/12 + 3200·2,561² = 4,269 × 10⁷ mm⁴

ala inferior: 220·12³/12 + 2640·208,6² = 1,149 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,149 × 10⁸ + 4,269 × 10⁷ + 1,149 × 10⁸

I_x = 2,724 × 10⁸ mm⁴ = 272,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 272,4 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 122,6 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 60 − 20·(−0,1736) − (−60)·0,9848 = 122,6 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = −2,561 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 122,6 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 5 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = −5 + 75·0 + 10·1 = 5 MPa

Respuesta

σ_θ = 5 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 33,75 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 33,75 mm

Respuesta

δ = 33,75 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 9,375 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9,375 kN

Respuesta

R_B = 9,375 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 3,312 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Respuesta

P_cr = 3,312 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 197,4 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Respuesta

σ_cr = 197,4 MPa

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