Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de aluminio bajo la carga axial.

P = 80 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 160 MPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa, tensión admisible 50 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 50 kW a 1800 rpm sin que la tensión cortante supere 40 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 5 m de A. Halla el momento flector M_A en el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 70 kN en 5 mw = 8 kN/m de 0 a 5 m

M_A = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo M_max entre los apoyos.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mapoyos en x = 0 y x = 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 220 mm de ancho y 14 mm de espesor, un canto total de 340 mm y un alma de 8 mm de espesor. Halla su módulo resistente elástico S_x para flexión respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 220 mmH = 340 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 50 MPa a tracción y 90 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo M_allow que puede soportar la viga.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −70 MPa, σᵧ = −10 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido horario respecto al eje x.

σ_x = −70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 3 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 15 kNa = 3 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 6 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,425 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/70000 = 0,001617 = 1617 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,001617·1500 mm = 2,425 mm

Respuesta

δ = 2,425 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 538,4 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Deformación determinante

ε = min(0,0008, 0,0004545) = 0,0004545 (bronce)

Mayor carga

P_max = 0,0004545·1,184 × 10⁹ = 538355 N = 538,4 kN

Respuesta

P_max = 538,4 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 21,55 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·38350) = 0,3761 rad

φ = 0,3761·180/π = 21,55°

Respuesta

φ = 21,55°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 32,32 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·40)) = 32,32 mm

Respuesta

d = 32,32 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_A = −450 kN·m

Quédate con la parte del extremo libre

P: −70·5 = −350 kN·m

w: −8·5²/2 = −100 kN·m

M_A = −350 − 100 = −450 kN·m

Respuesta

M_A = −450 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 14,4 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·6·3

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18 = 12 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12/5 = 2,4 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12²/(2·5) = 14,4 kN·m

Respuesta

M_max = 14,4 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: S_x = 1082 × 10³ mm³

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 340 − 2·14 = 312 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·340³ − 212·312³)/12

I_x = 1,84 × 10⁸ mm⁴

Módulo resistente

c = H/2 = 170 mm

S_x = I/c = 1,84 × 10⁸/170

S_x = 1,082 × 10⁶ mm³ = 1082 × 10³ mm³

Respuesta

S_x = 1082 × 10³ mm³

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 9,152 kN·m

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (7500·192,5 + 2880·90)/10380 = 164,1 mm

borde superior: c = 205 − 164,1 = 40,94 mm

Momento de inercia

I = 300·25³/12 + 7500·28,44² + 16·180³/12 + 2880·74,06² = 3,003 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 90·3,003 × 10⁷/40,94 = 66,02 kN·m

borde inferior: M = 50·3,003 × 10⁷/164,1 = 9,152 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 9,152 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 9,152 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 55,9 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((120 − 10)/2)² + −10²) = 55,9 MPa

Respuesta

τ_max = 55,9 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = −20,36 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = −40 + −30·0,5 + −40·−0,866 = −20,36 MPa

Respuesta

σ_θ = −20,36 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 30,13 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 12,05 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006027 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 30,13 mm

Respuesta

δ_B = 30,13 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 36,36 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 6000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·4000³/(48·1,32 × 10¹²) = 6,061 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 30,3 mm

Súmalas

δ_max = 6,061 + 30,3 = 36,36 mm

Respuesta

δ_max = 36,36 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 4,178 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2100² = 4178 N = 4,178 kN

Respuesta

P_cr = 4,178 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 17,27 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Respuesta

σ_cr = 17,27 MPa

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