Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 60 mm, longitud 500 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 60 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 50 kW a 1450 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,75 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 50 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 2 kN/m de 0 a 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mP = 30 kN en 1,5 mw = 2 kN/m de 0 a 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −20 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 50° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 115 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 115 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 12732 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1273/100000 = 0,01273 = 12732 µε

Respuesta

ε = 12732 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 14,18 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 60000·395841/592190 = 40106 N

Tensión

σ₂ = 40106/2827 = 14,18 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 14,18 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 16,63 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·79522) = 0,2902 rad

φ = 0,2902·180/π = 16,63°

Respuesta

φ = 16,63°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 36,61 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·329286/(π·50·0,6836)) = 36,61 mm

d_i = 0,75·36,61 = 27,46 mm

Respuesta

d_o = 36,61 mm

Un eje macizo necesitaría d = 32,25 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 9 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 10·1 − 2·1·0,5 = 9 kN·m

Respuesta

M_x = 9 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 27,5 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1,5 + 2·6·3

R_B = 81/6 = 13,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 13,5 = 28,5 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 28,5·3,5 − 30·(3,5 − 1,5) − 2·3,5·1,75 = 27,5 kN·m

Respuesta

M_x = 27,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 19,63 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

alma: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·175 + 2880·80)/5880 = 128,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·30³/12 + 3000·(175 − 128,5)² = 6,72 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·160³/12 + 2880·(80 − 128,5)² = 1,291 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,72 × 10⁶ + 1,291 × 10⁷ = 1,963 × 10⁷ mm⁴ = 19,63 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 19,63 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 46,57 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

alma: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·190 + 1440·90)/5840 = 165,3 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·20³/12 + 4400·(190 − 165,3)² = 2,822 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·180³/12 + 1440·(90 − 165,3)² = 1,206 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,822 × 10⁶ + 1,206 × 10⁷ = 1,488 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 200 − 165,3 = 34,66 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·34,66/1,488 × 10⁷ = 46,57 MPa

Respuesta

σ_superior = 46,57 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = 34,1 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = 10/26,93 = 0,3714, sin 2θ_s = −(−25)/26,93 = 0,9285

2θ_s = atan2(25, 10) = 68,2°

Ángulo en el elemento

θ_s = 34,1°

comprobación: θ_s − θ_p = 34,1 − 79,1 = −45°

Respuesta

θ_s = 34,1°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 34,91 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 10 + −30·−0,1736 + 20·0,9848 = 34,91 MPa

Respuesta

σ_θ = 34,91 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,01524 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 12·8000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,01524 rad

Respuesta

θ_A = 0,01524 rad

Eso son 0,8731°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 106,5 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,065 × 10⁸ mm⁴

I_req = 106,5 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 106,5 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 11,07 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11,07 kN

Respuesta

P_cr = 11,07 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 117,4 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 117,4 mm

Respuesta

d = 117,4 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 272,6, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials