Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 10 mmLatón1 mP = 10 kN

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 40 mmAcero1,5 mØ 20 mmCobre0,5 mP = 120 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 120 kNtramo 1: Ø40 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
do​ = 50, di​ = 25 mmT = 200 N·mL = 0,5 m

Un eje hueco de aluminio (diámetro exterior 50 mm, diámetro interior 25 mm, longitud 0,5 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 200 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 200 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Td = ?

Un eje macizo debe transmitir 10 kW a 500 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 10 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 75 kNP2​ = 60 kNABC4 m2 m2 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP1 = 75 kN en 4 mP2 = 60 kN en 8 mapoyos en x = 0 y x = 6 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
25 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 6 m55 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
2803022010xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
100 mm200 mm70 mm50 × 50xIx​ = ?

Una placa de 100 mm × 200 mm tiene un recorte rectangular de 50 mm de ancho y 50 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 70 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 200 mmrecorte: 50 × 50 mmcentro del agujero: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 140σy​ = −80τxy​ = 20MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 140 MPa, σᵧ = −80 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 140 MPaσy = −80 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = 70σy​ = −60τxy​ = −30MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 40° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σx = 70 MPaσy = −60 MPaτxy = −30 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 4 kN/mδL = 2,5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 8 kN/mP = 11 kNδL = 5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.

P = 11 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 m30 × 50 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 5 md = 80 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 1273 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/100000 = 0,001273 = 1273 µε

Respuesta

ε = 1273 µε
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,349 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 95,49 MPa
σ2 = 382 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ1 = σ1L1/E1 = 95,49·1500/200000 = 0,7162 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 382·500/117000 = 1,632 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,349 mm

Respuesta

δ = 2,349 mm
3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 0,3831 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Ángulo de torsión

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·500/(26000·575243) = 0,006686 rad
φ = 0,006686·180/π = 0,3831°

Respuesta

φ = 0,3831°
4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 22,99 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

Respuesta

d = 22,99 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 20 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·6 = 75·4 + 60·8
RB = 780/6 = 130 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 130 = 5 kN

Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda

Mx = RA·4 = 5·4 = 20 kN·m

Respuesta

Mx = 20 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 1 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 39 kN, R2 = 41 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 39 kN·m, MC = 23, MD = 7, ME = −9, MF = −25, MG = 0

Respuesta

Marca B: MB = 39 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 36,74 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
alma: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·235 + 2200·110)/10600 = 209,1 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·30³/12 + 8400·(235 − 209,1)² = 6,284 × 10⁶ mm⁴
alma: 10·220³/12 + 2200·(110 − 209,1)² = 3,046 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,284 × 10⁶ + 3,046 × 10⁷ = 3,674 × 10⁷ mm⁴ = 36,74 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 36,74 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 63,57 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (20000·100 − 2500·70)/(20000 − 2500) = 104,3 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·200³/12 + 20000·−4,286² = 67,03 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

50·50³/12 + 2500·−34,29² = 3,46 × 10⁶ mm⁴

Resta

Ix = 63,57 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 63,57 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 111,8 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((140 − −80)/2)² + 20²) = 111,8 MPa

Respuesta

τmax = 111,8 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τθ = −69,22 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación

τθ = −65·0,9848 + −30·0,1736 = −69,22 MPa

Respuesta

τθ = −69,22 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 1,156 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Flecha

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,156 mm

Respuesta

δmax = 1,156 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 71,02 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 11000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(48EI) = 11000·5000³/(48·1,32 × 10¹²) = 21,7 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 49,32 mm

Súmalas

δmax = 21,7 + 49,32 = 71,02 mm

Respuesta

δmax = 71,02 mm
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 72,51 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1750² = 72511 N = 72,51 kN

Respuesta

Pcr = 72,51 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 22,56 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Respuesta

σcr = 22,56 MPa

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