Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) y un tramo de latón (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 100 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 50 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco de latón (diámetro exterior 30 mm, diámetro interior 18 mm, longitud 0,8 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 100 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 30 kW a 3000 rpm sin que la tensión cortante supere 40 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 15 kN en 5 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 150 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 120 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro del agujero: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 200 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 50 mm de ancho y 50 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 195 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 300 mmrecorte: 50 × 50 mmcentro del agujero: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 50 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 50 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 36,16 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706,9) = 3,858 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/6,914 × 10⁻⁶ = 36158 N = 36,16 kN

Respuesta

P = 36,16 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 37,45 MPa

Rigideces

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 50000·235619/445059 = 26471 N

Tensión

σ₂ = 26471/706,9 = 37,45 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 37,45 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,698 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Ángulo de torsión

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·800/(39000·69216) = 0,02964 rad

φ = 0,02964·180/π = 1,698°

Respuesta

φ = 1,698°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 22,99 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·40)) = 22,99 mm

Respuesta

d = 22,99 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 67,5 kN, R₂ = 67,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 115, M_C = 190, M_D = 225 kN·m, M_E = 190, M_F = 115, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 225 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 162,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·5 + 10·10·5

R_B = 575/10 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 57,5 = 57,5 kN

Corta en x = 5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 57,5·5 − 10·5·2,5 = 162,5 kN·m

Respuesta

M_x = 162,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 1257·120)/(45000 − 1257) = 150,9 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·300³/12 + 45000·−0,8618² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−30,86² = 1,323 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 336,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 444,2 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (60000·150 − 2500·195)/(60000 − 2500) = 148 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·300³/12 + 60000·1,957² = 450,2 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

50·50³/12 + 2500·46,96² = 6,033 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 444,2 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 444,2 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −62,77 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −50/86,02 = −0,5812, sin 2θ_s = −70/86,02 = −0,8137

2θ_s = atan2(−70, −50) = −125,5°

Ángulo en el elemento

θ_s = −62,77°

comprobación: θ_s − θ_p = −62,77 − (−17,77) = −45°

Respuesta

θ_s = −62,77°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −28,3 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−50·−0,866 + 30·0,5 = −28,3 MPa

Respuesta

τ_θ = −28,3 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 5,797 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 5,797 mm

Respuesta

δ_max = 5,797 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 176,8 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·2,301 × 10⁷/50)^1/3 = 176,8 mm

Respuesta

h_req = 176,8 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 16,06 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/4000² = 16064 N = 16,06 kN

Respuesta

P_cr = 16,06 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 9,835 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/6,25 = 448

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9,835 MPa

Respuesta

σ_cr = 9,835 MPa

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