Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, E = 120 GPa). Ambos miden 800 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 150 kN. Halla el acortamiento δ.
P = 150 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 120 kNtramo 1: Ø30 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje hueco debe transmitir 10 kW a 1450 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
P = 10 kWN = 1450 rpmdi/do = 0,5τallow = 40 MPa
do = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 5,5 mP1 = 80 kN en 3 mP2 = 35 kN en 5,5 mapoyos en x = 0 y x = 4 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia xc desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).
L = 6 mw = 12 kN/m de 0 a 6 mapoyos en x = 0 y x = 5 m
xc = m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en I simétrica tiene alas de 110 mm de ancho y 14 mm de espesor, un canto total de 320 mm y un alma de 6 mm de espesor. Halla su momento de inercia Ix respecto al eje centroidal horizontal x.
B = 110 mmH = 320 mmtf = 14 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 40 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 40 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 110 MPa, σᵧ = −80 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.
σx = 110 MPaσy = −80 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido horario respecto al eje x.
σx = −40 MPaσy = 40 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 75 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo hreq de la sección.
w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 75 mm
hreq = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm
σcr = MPa
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 0,2961 mm
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
Rigidez axial combinada
ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N
Acortamiento
δ = 150000·800/4,053 × 10⁸ = 0,2961 mm
Respuesta
δ = 0,2961 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 382 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 169,8 MPa
σ2 = 382 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 382 MPa
Respuesta
σmax = 382 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: φ = 3,42 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·251327) = 0,05968 rad
φ = 0,05968·180/π = 3,42°
Respuesta
φ = 3,42°
4.Torsión de ejes
Respuesta: do = 20,76 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 65,86 N·m = 65857 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·65857/(π·40·0,9375)) = 20,76 mm
di = 0,5·20,76 = 10,38 mm
Respuesta
do = 20,76 mm
Un eje macizo necesitaría d = 20,32 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 20,63 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.
ΣMA = 0: RB·4 = 80·3 + 35·5,5
RB = 432,5/4 = 108,1 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 108,1 = 6,875 kN
Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda
Mx = RA·3 = 6,875·3 = 20,63 kN·m
Respuesta
Mx = 20,63 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: xc = 4,8 m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, aplicada en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·6·3
RB = 216/5 = 43,2 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 43,2 = 28,8 kN
Momento nulo
Entre los apoyos M(x) = RA·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2RA/w.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·28,8/12 = 4,8 m
Respuesta
xc = 4,8 m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 84,6 × 10⁶ mm⁴
Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = Ic + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.
Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales
Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.
hw = 320 − 2·14 = 292 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·320³ − 104·292³)/12
Ix = 8,46 × 10⁷ mm⁴ = 84,6 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 84,6 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 100,1 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 300 + 25/2 = 312,5 mm
alma: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·312,5 + 4800·150)/7800 = 212,5 mm
Teorema de Steiner
ala: 120·25³/12 + 3000·(312,5 − 212,5)² = 3,016 × 10⁷ mm⁴
alma: 16·300³/12 + 4800·(150 − 212,5)² = 5,475 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,016 × 10⁷ + 5,475 × 10⁷ = 8,491 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 212,5 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·212,5/8,491 × 10⁷ = 100,1 MPa
Respuesta
σinferior = 100,1 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τmax = 95,52 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio del círculo de Mohr
τmax = R = √(((110 − −80)/2)² + 10²) = 95,52 MPa
Respuesta
τmax = 95,52 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σθ = −11,34 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
σθ = 0 + −40·0,5 + −10·−0,866 = −11,34 MPa
Respuesta
σθ = −11,34 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 17,78 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 8 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²
Flecha
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 17,78 mm
Respuesta
δmax = 17,78 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: hreq = 210,4 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
Límite de flecha
δallow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm
Momento de inercia necesario
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·12,5) = 5,825 × 10⁷ mm⁴
Canto necesario
bh³/12 = Ireq → h = (12·5,825 × 10⁷/75)1/3 = 210,4 mm
Respuesta
hreq = 210,4 mm
En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 67,29 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 1·3000 = 3000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN
Respuesta
Pcr = 67,29 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: σcr = 17,27 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Radio de giro y esbeltez
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200
Tensión crítica
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa
Respuesta
σcr = 17,27 MPa
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