Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 30 mm, longitud 500 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 50 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de aluminio de 50 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 3 m de A, actúa un par de 2000 N·m, y en el extremo libre C, 3 m más allá, actúa un par de 2000 N·m en el mismo sentido. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 2000 N·mAB = 3 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mw = 12 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 0 m10 kN @ 12 m15 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 220 mm, una altura exterior H = 275 mm y un espesor de pared uniforme t = 18 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

B = 220 mmH = 275 mmt = 18 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 10 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 10 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un eje macizo de 40 mm de diámetro soporta una fuerza axial de compresión de 30 kN junto con un par de 1000 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

d = 40 mmF = −30 kNT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 125 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/250. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 3 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 125 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 15 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 15 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 6631 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 663,1/100000 = 0,006631 = 6631 µε

Respuesta

ε = 6631 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 9,625 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 50000·98960/727279 = 6803 N

Tensión

σ₂ = 6803/706,9 = 9,625 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 9,625 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 19,15 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·38350) = 0,3343 rad

φ = 0,3343·180/π = 19,15°

Respuesta

φ = 19,15°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 163 MPa

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 2000 = 4000 N·m

Tensión cortante máxima

El tramo con el mayor par interno tiene la mayor tensión (mismo diámetro).

|T|_max = 4000 N·m

τ_max = 16·4 × 10⁶/(π·50³) = 163 MPa

Respuesta

τ_max = 163 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 36 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 30·2 − 12·2·1 = 36 kN·m

Respuesta

M_x = 36 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 85 kN, R₂ = 50 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −70 kN·m, M_C = 0, M_D = 10, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −70 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 102 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

b = 184 mm, h = 239 mm

A = BH − bh = 220·275 − 184·239 = 16524 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,719 × 10⁸ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(1,719 × 10⁸/16524) = 102 mm

Respuesta

r = 102 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 28,42 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

alma: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·247,5 + 2400·120)/4200 = 174,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 120·15³/12 + 1800·(247,5 − 174,6)² = 9,588 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·240³/12 + 2400·(120 − 174,6)² = 1,869 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,588 × 10⁶ + 1,869 × 10⁷ = 2,827 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 255 − 174,6 = 80,36 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·80,36/2,827 × 10⁷ = 28,42 MPa

Respuesta

σ_superior = 28,42 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −26,57 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 80 − 50) = −53,13°

Ángulo en el elemento

θ_p = −26,57°

Respuesta

θ_p = −26,57°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 80,47 MPa

Tensiones en la superficie

σ = F/A = −30000/(π·40²/4) = −30000/1257 = −23,87 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = −11,94 MPa

R = √((−11,94)² + 79,58²) = 80,47 MPa

Respuesta

τ_max = 80,47 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 3,596 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 3,596 mm

Respuesta

δ = 3,596 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 264 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·6000⁴/(384·11000·24) = 1,918 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·1,918 × 10⁸/125)^1/3 = 264 mm

Respuesta

h_req = 264 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 182,8 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/750² = 182770 N = 182,8 kN

Respuesta

P_cr = 182,8 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 51,27 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 51,27 mm

Respuesta

d = 51,27 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 195, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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