Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Halla la deformación axial ε en la barra de cobre, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).
P = 50 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.
P = 15 kNtramo 1: Ø35 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo debe transmitir 5 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.
P = 5 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
20 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.Cortante y momento flectorDifícil
La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 4 mP = 65 kN en 2 mw = 3 kN/m de 0 a 4 m
Mmax = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 120 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 90 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 25 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 240 mmM = 25 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = 40 MPa y σᵧ = −40 MPa. ¿Hasta qué valor τxy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 80 MPa?
σx = 40 MPaσy = −40 MPaσ1 = 80 MPa
τxy = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 800 mm y un espesor de pared de 8 mm, contiene gas a una presión manométrica de 0,8 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 25° del eje del cilindro. Halla el valor de la tensión cortante |τn| que actúa a lo largo de la costura de soldadura.
D = 800 mmt = 8 mmp = 0,8 MPaα = 25°
|τn| = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.
P = 10 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.
P = 21 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 115 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 115 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: ε = 5441 µε
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
Tensión
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 50·1000/78,54 = 636,6 MPa
Deformación (ley de Hooke)
E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 636,6/117000 = 0,005441 = 5441 µε
Respuesta
ε = 5441 µε
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 1,834 mm
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 15,59 MPa
σ2 = 132,6 MPa
Suma los alargamientos de los tramos
δ1 = σ1L1/E1 = 15,59·1000/117000 = 0,1333 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 132,6·1500/117000 = 1,7 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,834 mm
Respuesta
δ = 1,834 mm
3.Torsión de ejes
Respuesta: φ = 0,4789 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·613592) = 0,008358 rad
φ = 0,008358·180/π = 0,4789°
Respuesta
φ = 0,4789°
4.Torsión de ejes
Respuesta: d = 14,97 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m
Diámetro a partir de la tensión admisible
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·32929/(π·50)) = 14,97 mm
Respuesta
d = 14,97 mm
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
5.Cortante y momento flector
Respuesta: C (x = 2 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 31,33 kN, R2 = 24,67 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 28,33, MC = 50,67 kN·m, MD = 47, ME = 37,33, MF = 21,67, MG = 0
Respuesta
Marca C: MC = 50,67 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 71 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 65·2 + 3·4·2
RB = 154/4 = 38,5 kN
ΣFy = 0: RA = 77 − 38,5 = 38,5 kN
¿Dónde es V = 0?
V(2⁻) = RA − w·2 = 32,5 kN
V(2⁺) = 32,5 − 65 = −32,5 kN
El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.
Momento máximo
Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 38,5·2 − 3·2²/2 = 71 kN·m
Respuesta
Mmax = 71 kN·m
Se produce en x = 2 m desde A.
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 267,4 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (36000·150 − 706,9·90)/(36000 − 706,9) = 151,2 mm
Placa completa respecto a ȳ
120·300³/12 + 36000·−1,202² = 270,1 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·−61,2² = 2,687 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 267,4 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 267,4 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 88,73 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
alma: Aw = 18·240 = 4320 mm², yw = 240/2 = 120 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·250 + 4320·120)/6720 = 166,4 mm
Teorema de Steiner
ala: 120·20³/12 + 2400·(250 − 166,4)² = 1,684 × 10⁷ mm⁴
alma: 18·240³/12 + 4320·(120 − 166,4)² = 3,005 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,684 × 10⁷ + 3,005 × 10⁷ = 4,689 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 166,4 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·166,4/4,689 × 10⁷ = 88,73 MPa
Respuesta
σinferior = 88,73 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τxy = 69,28 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio necesario
C = (40 + (−40))/2 = 0 MPa
R = σ1 − C = 80 − 0 = 80 MPa
Tensión cortante
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 40²) = 69,28 MPa
Respuesta
τxy = 69,28 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: |τn| = 7,66 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Cilindro de pared delgada: tensión circunferencial σh = pr/t y tensión axial σa = pr/(2t); son las tensiones principales en la pared.
Tensiones en la pared
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0,8·400/8 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa
Transforma a la costura
Toma x a lo largo del eje (σa) e y en dirección circunferencial (σh). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.
|τn| = (40 − 20)·sin 25°·cos 25° = 7,66 MPa
Respuesta
|τn| = 7,66 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δ = 7,363 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 10000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²
Cada carga por separado
δP = PL³/(3EI) = 10000·2500³/(3·8,4 × 10¹²) = 6,2 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 1,163 mm
Súmalas
δ = 6,2 + 1,163 = 7,363 mm
Respuesta
δ = 7,363 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 11,99 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 21000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²
Cada carga por separado
δP = PL³/(48EI) = 21000·2000³/(48·3,96 × 10¹¹) = 8,838 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 3,157 mm
Súmalas
δmax = 8,838 + 3,157 = 11,99 mm
Respuesta
δmax = 11,99 mm
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 5,118 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 2·3000 = 6000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/6000² = 5118 N = 5,118 kN
Respuesta
Pcr = 5,118 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 72,17 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,17 mm
Respuesta
d = 72,17 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 110,8, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials