Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de aluminio (diámetro 40 mm, longitud 500 mm, E = 70 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,3 mm en total.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 150 MPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 50 mm, E = 110 GPa, tensión admisible 70 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 12 mm de diámetro se tuerce con un par de 50 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 250 mm giran 9,02° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 50 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 9,02°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 30 kW a 750 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 5,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo M_max entre los apoyos.

L = 10,5 mw = 4 kN/m de 0 a 10,5 mapoyos en x = 0 y x = 8 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 220 mm, una altura exterior H = 275 mm y un espesor de pared uniforme t = 14 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

B = 220 mmH = 275 mmt = 14 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 150 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 60 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 210 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 60 × 30 mmcentro del agujero: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −10 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 4 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 100 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 100 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 27,84 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/1,078 × 10⁻⁵ = 27837 N = 27,84 kN

Respuesta

P = 27,84 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 304,4 kN

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,00075, 0,0006364) = 0,0006364 (bronce)

Mayor carga

P_max = 0,0006364·4,783 × 10⁸ = 304377 N = 304,4 kN

Respuesta

P_max = 304,4 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 39 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 9,02·π/180 = 0,1574 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(2036·0,1574) = 39003 MPa

G = 39 GPa

Respuesta

G = 39 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 28,97 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Respuesta

d = 28,97 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 13,75 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corta en x = 5,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 30·5,5 − 10·5,5·2,75 = 13,75 kN·m

Respuesta

M_x = 13,75 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 26,06 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·10,5 = 42 kN, aplicada en x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·10,5·5,25

R_B = 220,5/8 = 27,56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 27,56 = 14,44 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 14,44/4 = 3,609 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 14,44²/(2·4) = 26,06 kN·m

Respuesta

M_max = 26,06 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 103,5 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

b = 192 mm, h = 247 mm

A = BH − bh = 220·275 − 192·247 = 13076 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,402 × 10⁸ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(1,402 × 10⁸/13076) = 103,5 mm

Respuesta

r = 103,5 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 330,6 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 1800·210)/(45000 − 1800) = 147,5 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·300³/12 + 45000·2,5² = 337,8 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

60·30³/12 + 1800·62,5² = 7,166 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 330,6 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 330,6 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 62,65 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 100)/2)² + 30²) = 62,65 MPa

Respuesta

τ_max = 62,65 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 10,67 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −5·0,866 + 30·0,5 = 10,67 MPa

Respuesta

τ_θ = 10,67 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 34,44 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 34,44 mm

Respuesta

δ_max = 34,44 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 25,25 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 5,147 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 20,1 mm

Súmalas

δ_max = 5,147 + 20,1 = 25,25 mm

Respuesta

δ_max = 25,25 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 5,426 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Respuesta

P_cr = 5,426 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 89,62 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 89,62 mm

Respuesta

d = 89,62 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 223,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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