Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 110 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 35 kNtramo 1: Ø40 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio de 2,5 m de longitud transmite un par de 750 N·m. El ángulo de torsión entre sus extremos no debe superar 1,5°. Halla el diámetro mínimo d que cumple este límite.

T = 750 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 15 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 40 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia x_c desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).

L = 7,5 mw = 3 kN/m de 0 a 7,5 mapoyos en x = 0 y x = 5 m

x_c = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 45 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 150 × 24 mm, un alma de 180 mm de alto y 14 mm de espesor, y un ala inferior de 260 × 20 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 150 × 24 mmalma: 14 × 180 mmala inferior: 260 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa y τₓᵧ = 50 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −20 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 40° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = −20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1,5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 28 kNa = 1,5 mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 140 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 140 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 21,01 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1401/200000 = 0,007003 = 7003 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,007003·3000 mm = 21,01 mm

Respuesta

δ = 21,01 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 5,371 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 27,85 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 27,85·1000/70000 = 0,3979 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 174,1·2000/70000 = 4,974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,371 mm

Respuesta

δ = 5,371 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: d = 72,78 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar necesario

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·2500/(26000·0,02618) = 2,755 × 10⁶ mm⁴

Diámetro

d = (32J/π)^1/4 = 72,78 mm

Respuesta

d = 72,78 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 23,26 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·40)) = 23,26 mm

Respuesta

d = 23,26 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 20 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 15·2 − 5·2·1 = 20 kN·m

Respuesta

M_x = 20 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x_c = 3,75 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·7,5 = 22,5 kN, aplicada en x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·7,5·3,75

R_B = 84,38/5 = 16,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22,5 − 16,88 = 5,625 kN

Momento nulo

Entre los apoyos M(x) = R_A·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·5,625/3 = 3,75 m

Respuesta

x_c = 3,75 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 706,9·45)/(18000 − 706,9) = 76,23 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,226² = 33,78 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−31,23² = 0,729 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 94,54 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 3600 mm², y = 212 mm

alma: A = 2520 mm², y = 110 mm

ala inferior: A = 5200 mm², y = 10 mm

Centroide

ȳ = (3600·212 + 2520·110 + 5200·10)/11320 = 96,5 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 150·24³/12 + 3600·115,5² = 4,82 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·180³/12 + 2520·13,5² = 7,263 × 10⁶ mm⁴

ala inferior: 260·20³/12 + 5200·86,5² = 3,908 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,82 × 10⁷ + 7,263 × 10⁶ + 3,908 × 10⁷

I_x = 9,454 × 10⁷ mm⁴ = 94,54 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 94,54 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 75,36 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 80 MPa, R = √(50² + 50²) = 70,71 MPa

σ₁ = 150,7 MPa, σ₂ = 9,289 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(141,4, 150,7, 9,289)/2 = 75,36 MPa

Respuesta

τ_abs = 75,36 MPa

Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 16,85 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = −35 + 15·0,1736 + 50·0,9848 = 16,85 MPa

Respuesta

σ_θ = 16,85 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 4,621 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1500²·6500²/(3·2,4 × 10¹³·8000) = 4,621 mm

Respuesta

δ_P = 4,621 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·70000·8,333) = 9,04 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 11,94 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2100² = 11936 N = 11,94 kN

Respuesta

P_cr = 11,94 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 87,19 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 87,19 mm

Respuesta

d = 87,19 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 183,5, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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