Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.
P = 90 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 15 kNtramo 1: Ø30 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje hueco debe transmitir un par de 200 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
T = 200 N·mdi/do = 0,5τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo de latón de 40 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 1500 N·m en C, a 2,5 m de A y a 1 m de B. Halla el par de reacción TA en el muro A.
d = 40 mmT0 = 1500 N·ma = 2,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Cortante y momento flectorMedia
El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 2,5 m de A. Halla el momento flector Mx en la sección x = 2 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 5 mP = 70 kN en 2,5 mw = 8 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
25 kN @ 6 m50 kN @ 1 m4 kN/m, 0–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.
bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 300 mmM = 20 kN·m
σsuperior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.
σx = 120 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (σz = 0). El material tiene un límite elástico de 300 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).
σx = 70 MPaσy = 120 MPaτxy = 20 MPaσY = 300 MPa
n =
11.Flecha de la vigaMedia
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.
w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acero)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.
w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madera estructural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 45 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 45 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 3,979 mm
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
Tensión
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa
Deformación (ley de Hooke)
E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 795,8/100000 = 0,007958 = 7958 µε
Alargamiento
δ = ε·L = 0,007958·500 mm = 3,979 mm
Respuesta
δ = 3,979 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 74,6 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 21,22 MPa
σ2 = 74,6 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 74,6 MPa
Respuesta
σmax = 74,6 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: do = 24,38 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0,9375)) = 24,38 mm
di = 0,5·24,38 = 12,19 mm
Respuesta
do = 24,38 mm
Un eje macizo necesitaría d = 23,86 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
4.Torsión de ejes
Respuesta: TA = 428,6 N·m
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da TA + TB = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).
Equilibrio y compatibilidad
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·1/3,5 = 428,6 N·m
TB = 1500·2,5/3,5 = 1071 N·m
Respuesta
TA = 428,6 N·m
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = −71 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Quédate con la parte del extremo libre
P: −70·0,5 = −35 kN·m
w: −8·3²/2 = −36 kN·m
Mx = −35 − 36 = −71 kN·m
Respuesta
Mx = −71 kN·m
Negativo significa tracción en la cara superior.
6.Cortante y momento flector
Respuesta: B (x = 1 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 45 kN, R2 = 50 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 43 kN·m, MC = 32, MD = 17, ME = −2, MF = −25, MG = 0
Respuesta
Marca B: MB = 43 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 38,47 × 10⁶ mm⁴
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
alma: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·290 + 2240·140)/4240 = 210,8 mm
Teorema de Steiner
ala: 100·20³/12 + 2000·(290 − 210,8)² = 1,263 × 10⁷ mm⁴
alma: 8·280³/12 + 2240·(140 − 210,8)² = 2,585 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,263 × 10⁷ + 2,585 × 10⁷ = 3,847 × 10⁷ mm⁴ = 38,47 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 38,47 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σsuperior = 33,8 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
alma: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·305 + 6000·150)/7600 = 182,6 mm
Teorema de Steiner
ala: 160·10³/12 + 1600·(305 − 182,6)² = 2,397 × 10⁷ mm⁴
alma: 20·300³/12 + 6000·(150 − 182,6)² = 5,139 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,397 × 10⁷ + 5,139 × 10⁷ = 7,536 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde superior está a h − ȳ del eje.
y = 310 − 182,6 = 127,4 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·127,4/7,536 × 10⁷ = 33,8 MPa
Respuesta
σsuperior = 33,8 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: θp = −16,85 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ángulo en el círculo
En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−60, 120 − −60) = −33,69°
Ángulo en el elemento
θp = −16,85°
Respuesta
θp = −16,85°
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: n = 2,727
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σY; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σY/2.
Tensiones principales
C = 95 MPa, R = 32,02 MPa
σ1 = 127 MPa, σ2 = 62,98 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(127² − 127·62,98 + 62,98²) = 110 MPa
n = 300/110 = 2,727
Respuesta
n = 2,727
n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.
11.Flecha de la viga
Respuesta: δ = 9,766 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²
Flecha
δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 9,766 mm
Respuesta
δ = 9,766 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: Ireq = 163,6 × 10⁶ mm⁴
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Límite de flecha
δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm
Momento de inercia necesario
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,636 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 163,6 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ireq = 163,6 × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 2,768 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1400² = 2768 N = 2,768 kN
Respuesta
Pcr = 2,768 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 127,6 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 127,6 mm
Respuesta
d = 127,6 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 313,4, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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