Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de cobre (diámetro 30 mm, longitud 500 mm, E = 120 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,3 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 85 kNtramo 1: Ø40 mm, 2 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de acero de 25 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 1 m de A, actúa un par de 1500 N·m, y en el extremo libre C, 1,5 m más allá, actúa un par de 200 N·m en sentido contrario. Halla el valor del ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

d = 25 mmT_B = 1500 N·mT_C = 200 N·mAB = 1 mBC = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 5,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 3 kN/m de 0 a 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla la distancia x₀ desde A hasta la sección donde el momento flector es máximo.

L = 5 mw = 16 kN/m de 0 a 4 m

x₀ = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 120 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 40 mm de ancho y 50 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 90 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 300 mmrecorte: 40 × 50 mmcentro del agujero: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 420 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).

σ_x = 50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 2 m del apoyo B. Halla la flecha δ_mid en el centro del vano.

P = 10 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 75 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 75 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 38,05 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/7,884 × 10⁻⁶ = 38051 N = 38,05 kN

Respuesta

P = 38,05 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 12,09 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·2000/100000 = 1,353 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·1000/70000 = 10,74 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 12,09 mm

Respuesta

δ = 12,09 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 8,979 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(26000·613592) = 0,1567 rad

φ = 0,1567·180/π = 8,979°

Respuesta

φ = 8,979°

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 18,68 °

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1500 = −1300 N·m

Torsión de cada tramo

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1,3 × 10⁶·1000/(80000·38350) = −0,4237 rad

φ_BC = 200000·1500/(80000·38350) = 0,09778 rad

Torsión del extremo C

φ_C = −0,4237 + 0,09778 = −0,3259 rad → |φ_C| = 18,68°

Respuesta

φ_C = 18,68°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 4,125 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Corta en x = 5,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 9·5,5 − 3·5,5·2,75 = 4,125 kN·m

Respuesta

M_x = 4,125 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x₀ = 2,4 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 16·4·2

R_B = 128/5 = 25,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 25,6 = 38,4 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en R_A, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 38,4/16 = 2,4 m

Respuesta

x₀ = 2,4 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 44,77 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

alma: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·245 + 3840·120)/6840 = 174,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 300·10³/12 + 3000·(245 − 174,8)² = 1,48 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·240³/12 + 3840·(120 − 174,8)² = 2,997 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,48 × 10⁷ + 2,997 × 10⁷ = 4,477 × 10⁷ mm⁴ = 44,77 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 44,77 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 262 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 2000·90)/(36000 − 2000) = 153,5 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·300³/12 + 36000·−3,529² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

40·50³/12 + 2000·−63,53² = 8,489 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 262 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 262 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = 63,43 °

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 70 − 100) = 126,9°

Ángulo en el elemento

θ_p = 63,43°

Respuesta

θ_p = 63,43°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 4,159

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 0 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 58,31 MPa, σ₂ = −58,31 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(58,31² − 58,31·(−58,31) + (−58,31)²) = 101 MPa

n = 420/101 = 4,159

Respuesta

n = 4,159

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 11,2 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 11,2 mm

Respuesta

δ_max = 11,2 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_mid = 15,21 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 10000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Flecha en el centro del vano

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 10000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·2,52 × 10¹²) = 15,21 mm

Respuesta

δ_mid = 15,21 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 313,9 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Respuesta

P_cr = 313,9 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 67,14 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 67,14 mm

Respuesta

d = 67,14 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 104,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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