Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de aluminio, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de cobre (diámetro 60 mm, longitud 200 mm, E = 120 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 100 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco de acero (diámetro exterior 50 mm, diámetro interior 25 mm, longitud 0,8 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 1000 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 100 kW a 1800 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 6,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 3 kN/m de 0 a 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 6 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 105 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 200 × 16 mm, un alma de 340 mm de alto y 12 mm de espesor, y un ala inferior de 290 × 18 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 200 × 16 mmalma: 12 × 340 mmala inferior: 290 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 80 MPa y σᵧ = 70 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 105 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 60° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acero)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 110 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 110 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 3158 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 221/70000 = 0,003158 = 3158 µε

Respuesta

ε = 3158 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 31,05 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·2827/200 = 1,696 × 10⁶ N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 100000·1,696 × 10⁶/1,932 × 10⁶ = 87805 N

Tensión

σ₂ = 87805/2827 = 31,05 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 31,05 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 0,996 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Ángulo de torsión

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(80000·575243) = 0,01738 rad

φ = 0,01738·180/π = 0,996°

Respuesta

φ = 0,996°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 18,3 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Momento polar de inercia

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·30/869767 = 18,3 MPa

Respuesta

τ_max = 18,3 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 14,63 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corta en x = 6,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 12·6,5 − 3·6,5·3,25 = 14,63 kN·m

Respuesta

M_x = 14,63 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 5 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 23 kN, R₂ = 72 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 17, M_C = 22, M_D = 15, M_E = −4, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Respuesta

Marca F: M_F = −35 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 706,9·105)/(36000 − 706,9) = 150,9 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·300³/12 + 36000·−0,9013² = 270 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−45,9² = 1,529 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 297,5 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 3200 mm², y = 366 mm

alma: A = 4080 mm², y = 188 mm

ala inferior: A = 5220 mm², y = 9 mm

Centroide

ȳ = (3200·366 + 4080·188 + 5220·9)/12500 = 158,8 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 200·16³/12 + 3200·207,2² = 1,374 × 10⁸ mm⁴

alma: 12·340³/12 + 4080·29,18² = 4,278 × 10⁷ mm⁴

ala inferior: 290·18³/12 + 5220·149,8² = 1,173 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,374 × 10⁸ + 4,278 × 10⁷ + 1,173 × 10⁸

I_x = 2,975 × 10⁸ mm⁴ = 297,5 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 297,5 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 29,58 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (80 + 70)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 75 = 30 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 5²) = 29,58 MPa

Respuesta

τ_xy = 29,58 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = −9,019 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = −10 + 50·−0,5 + 30·0,866 = −9,019 MPa

Respuesta

σ_θ = −9,019 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 50,02 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 50,02 mm

Respuesta

δ_max = 50,02 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,465 × 10⁷ mm⁴

I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 2,481 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·5000 = 10000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2,481 kN

Respuesta

P_cr = 2,481 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 62,25 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 62,25 mm

Respuesta

d = 62,25 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 134,9, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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