Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de cobre, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 90 kNtramo 1: Ø40 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 400 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 50 kW a 1450 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 10 kN/m de 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 0 m40 kN @ 12 m20 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 280 mm de ancho con dos alas verticales de 100 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 18 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.

b = 280 mmh = 100 mmt = 18 mm

ȳ = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 120 mm de ancho y 18 mm de espesor, un canto total de 380 mm y un alma de 12 mm de espesor. Soporta un momento flector de 120 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 120 mmH = 380 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 120 MPa y τₓᵧ = 20 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 3023 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113,1 = 353,7 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 353,7/117000 = 0,003023 = 3023 µε

Respuesta

ε = 3023 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 795,8 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 795,8 MPa

Respuesta

σ_max = 795,8 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 14,59 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·15708) = 0,2546 rad

φ = 0,2546·180/π = 14,59°

Respuesta

φ = 14,59°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 27,95 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Momento polar de inercia

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·20/235619 = 27,95 MPa

Respuesta

τ_max = 27,95 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 18,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 20·1,5 − 10·1,5·0,75 = 18,75 kN·m

Respuesta

M_x = 18,75 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 62,5 kN, R₂ = 47,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −75, M_D = −50, M_E = −65, M_F = −80, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −100 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: ȳ = 27,47 mm

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 280·18 = 5040 mm², y₁ = 9 mm

dos alas: A₂ = 2·18·82 = 2952 mm², y₂ = 18 + 82/2 = 59 mm

Centroide

ȳ = (5040·9 + 2952·59)/7992 = 27,47 mm

Respuesta

ȳ = 27,47 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 113,2 MPa

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 380 − 2·18 = 344 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·380³ − 108·344³)/12

I_x = 1,824 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 190 − 18 = 172 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·172/1,824 × 10⁸ = 113,2 MPa

Respuesta

σ_j = 113,2 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 62,36 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 80 MPa, R = √((−40)² + 20²) = 44,72 MPa

σ₁ = 124,7 MPa, σ₂ = 35,28 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(89,44, 124,7, 35,28)/2 = 62,36 MPa

Respuesta

τ_abs = 62,36 MPa

Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 45 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −45·−1 + 20·0 = 45 MPa

Respuesta

τ_θ = 45 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,004286 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,004286 rad

Respuesta

θ_A = 0,004286 rad

Eso son 0,2456°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 2,093 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·2500⁴/(384·70000·6,944) = 2,093 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,093 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 2,093 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 5,737 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2800² = 5737 N = 5,737 kN

Respuesta

P_cr = 5,737 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 17,27 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Respuesta

σ_cr = 17,27 MPa

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