Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de cobre, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 25 kNtramo 1: Ø40 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 100 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 20 kW a 300 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 9 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 12 kN/m de 0 a 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

30 kN @ 6 m15 kN @ 1 m4 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 130 × 20 mm, un alma de 180 mm de alto y 10 mm de espesor, y un ala inferior de 220 × 20 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 130 × 20 mmalma: 10 × 180 mmala inferior: 220 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −10 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 15° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 160 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 28 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acero)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 30 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 30 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 3613 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/201,1 = 422,8 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 422,8/117000 = 0,003613 = 3613 µε

Respuesta

ε = 3613 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 124,3 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 19,89 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 124,3 MPa

Respuesta

σ_max = 124,3 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 21,36 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0,8704)) = 21,36 mm

d_i = 0,6·21,36 = 12,82 mm

Respuesta

d_o = 21,36 mm

Un eje macizo necesitaría d = 20,4 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 34,35 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Respuesta

d = 34,35 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 54 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Corta en x = 9 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 60·9 − 12·9·4,5 = 54 kN·m

Respuesta

M_x = 54 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 4,25 kN, R₂ = 56,75 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 2,25, M_C = −14,5, M_D = −35,25, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −60 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 51,37 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

alma: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·232,5 + 4400·110)/8900 = 171,9 mm

Teorema de Steiner

ala: 180·25³/12 + 4500·(232,5 − 171,9)² = 1,674 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·220³/12 + 4400·(110 − 171,9)² = 3,463 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,674 × 10⁷ + 3,463 × 10⁷ = 5,137 × 10⁷ mm⁴ = 51,37 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 51,37 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 71,41 × 10⁶ mm⁴

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2600 mm², y = 210 mm

alma: A = 1800 mm², y = 110 mm

ala inferior: A = 4400 mm², y = 10 mm

Centroide

ȳ = (2600·210 + 1800·110 + 4400·10)/8800 = 89,55 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 130·20³/12 + 2600·120,5² = 3,781 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·180³/12 + 1800·20,45² = 5,613 × 10⁶ mm⁴

ala inferior: 220·20³/12 + 4400·79,55² = 2,799 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,781 × 10⁷ + 5,613 × 10⁶ + 2,799 × 10⁷

I_x = 7,141 × 10⁷ mm⁴ = 71,41 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 71,41 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −66,26 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, −10 − 100) = −132,5°

Ángulo en el elemento

θ_p = −66,26°

Respuesta

θ_p = −66,26°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 165,3 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 50 + 110·0,866 + 40·0,5 = 165,3 MPa

Respuesta

σ_θ = 165,3 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 5,473 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(3EI) = 28000·2500³/(3·3,2 × 10¹³) = 4,557 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 0,9155 mm

Súmalas

δ = 4,557 + 0,9155 = 5,473 mm

Respuesta

δ = 5,473 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 72,32 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·6000⁴/(384·70000·16,67) = 7,232 × 10⁷ mm⁴

I_req = 72,32 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 72,32 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 99,66 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2100² = 99663 N = 99,66 kN

Respuesta

P_cr = 99,66 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 60,79 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 60,79 mm

Respuesta

d = 60,79 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 276,4, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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