Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa). Ambos miden 400 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 150 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 150 kNbarra: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 85 kNtramo 1: Ø25 mm, 1,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 750 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 15 kW a 750 rpm sin que la tensión cortante supere 60 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

40 kN @ 1 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

30 kN @ 6 m60 kN @ 2 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 10 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 70 MPa y σᵧ = 10 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 105 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 350 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).

σ_x = −30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 120 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 120 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,1969 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 150000·400/3,047 × 10⁸ = 0,1969 mm

Respuesta

δ = 0,1969 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 270,6 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 270,6 MPa

Respuesta

σ_max = 270,6 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 46,7 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·40·0,9375)) = 46,7 mm

d_i = 0,5·46,7 = 23,35 mm

Respuesta

d_o = 46,7 mm

Un eje macizo necesitaría d = 45,71 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 25,31 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Respuesta

d = 25,31 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 53,33 kN, R₂ = 16,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 66,67 kN·m, M_D = 50, M_E = 33,33, M_F = 16,67, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 66,67 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 39 kN, R₂ = 99 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 33, M_C = 54, M_D = 3, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −60 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 67,13 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

alma: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·285 + 5040·140)/7440 = 186,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·10³/12 + 2400·(285 − 186,8)² = 2,318 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·280³/12 + 5040·(140 − 186,8)² = 4,395 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,318 × 10⁷ + 4,395 × 10⁷ = 6,713 × 10⁷ mm⁴ = 67,13 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 67,13 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 17,71 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

alma: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·285 + 3920·140)/6120 = 192,1 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·10³/12 + 2200·(285 − 192,1)² = 1,9 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·280³/12 + 3920·(140 − 192,1)² = 3,626 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,9 × 10⁷ + 3,626 × 10⁷ = 5,526 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 290 − 192,1 = 97,88 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·97,88/5,526 × 10⁷ = 17,71 MPa

Respuesta

σ_superior = 17,71 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 57,66 MPa

Radio necesario

C = (70 + 10)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 40 = 65 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 30²) = 57,66 MPa

Respuesta

τ_xy = 57,66 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 4,375

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −50 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = −13,94 MPa, σ₂ = −86,06 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−13,94)² − (−13,94)·(−86,06) + (−86,06)²) = 80 MPa

n = 350/80 = 4,375

Respuesta

n = 4,375

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,006275 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 4·4000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,006275 rad

Respuesta

θ_A = 0,006275 rad

Eso son 0,3595°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,17 × 10⁸ mm⁴

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 40,94 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/3000² = 40941 N = 40,94 kN

Respuesta

P_cr = 40,94 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 145,3 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 145,3 mm

Respuesta

d = 145,3 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 330,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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