Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de cobre (diámetro 50 mm, longitud 500 mm, E = 120 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,2 mm en total.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 20 kNtramo 1: Ø30 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de acero está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 30 mm y una longitud de 2,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 25 mm y una longitud de 1 m. En el extremo libre C actúa un par de 200 N·m. Halla el ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 30 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 75 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia x_c desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).

L = 6 mw = 2 kN/m de 0 a 6 mapoyos en x = 0 y x = 4 m

x_c = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 220 mm de ancho y 14 mm de espesor, un canto total de 440 mm y un alma de 10 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 220 mmH = 440 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 30 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 40° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 35° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 7 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acero)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales iguales P en sus tercios de la luz (a L/3 de cada apoyo). Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 3 kNL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 24,29 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/8,234 × 10⁻⁶ = 24291 N = 24,29 kN

Respuesta

P = 24,29 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 99,47 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 99,47 MPa

Respuesta

σ_max = 99,47 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 8,238 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·2500/(80000·79522) = 0,0786 rad

φ_BC = 200000·1000/(80000·38350) = 0,06519 rad

Torsión total

φ_C = 0,0786 + 0,06519 = 0,1438 rad = 8,238°

Respuesta

φ_C = 8,238°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 23,76 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·75)) = 23,76 mm

Respuesta

d = 23,76 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 96 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 48·4 − 12·4·2 = 96 kN·m

Respuesta

M_x = 96 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x_c = 3 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·6·3

R_B = 36/4 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 9 = 3 kN

Momento nulo

Entre los apoyos M(x) = R_A·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·3/2 = 3 m

Respuesta

x_c = 3 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 337,9 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 440 − 2·14 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·440³ − 210·412³)/12

I_x = 3,379 × 10⁸ mm⁴ = 337,9 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 337,9 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 181 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

alma: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·105 + 1200·50)/4000 = 88,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·10³/12 + 2800·(105 − 88,5)² = 785633 mm⁴

alma: 12·100³/12 + 1200·(50 − 88,5)² = 2,779 × 10⁶ mm⁴

I_x = 785633 + 2,779 × 10⁶ = 3,564 × 10⁶ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 110 − 88,5 = 21,5 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·21,5/3,564 × 10⁶ = 181 MPa

Respuesta

σ_superior = 181 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = −35,56 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = −15 − 5·0,1736 − 20·0,9848 = −35,56 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = 5,564 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = −35,56 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = −17,59 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 20 + 0·0,342 + −40·0,9397 = −17,59 MPa

Respuesta

σ_θ = −17,59 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 2,339 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·2000³/(3·1,14 × 10¹³) = 1,637 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 0,7018 mm

Súmalas

δ = 1,637 + 0,7018 = 2,339 mm

Respuesta

δ = 2,339 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 10,08 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Una carga en L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 5,042 mm

Suma ambas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 10,08 mm

Respuesta

δ_max = 10,08 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 93,25 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1050² = 93250 N = 93,25 kN

Respuesta

P_cr = 93,25 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 5,483 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/20 = 600

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5,483 MPa

Respuesta

σ_cr = 5,483 MPa

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